筆記

連通與路徑連通 一個由 [a,b] 映射到 metric space M 的函數 f ，如果 [a,b] 中所有的收斂序列 tk -> t，經過 f 也會收斂 f(tk) -> f(t)，則我們說 f 是一個連續函數。 一個集合中，若 任意兩點皆可找到一個落在集合中的連續函數相連 ，則稱此集合 路徑連通( path connected ) 。 若兩開集合 U、V 符合以下性質，則說他們將集合 A 分開： (1) U、V 聯集包含 A，(2) U、V 與 A 皆有交集，(3) U、V、A 交集為空。 若一個集合 不能被兩個開集合分開 ，則我們說此集合 連通( connected )。 任意區間 [a,b] 都是連通的。 不可能存在兩個非空無交集的閉集合，包住一個閉區間 [a,b]。 路徑連通必連通。 若 S 是一個連通集合，且 T 被夾在 S 和 S 的 closure 之間，則 T 亦連通。 一個連通集合通過連續函數作用仍然連通。 實數的連通子集 <=> 一個區間。 在 Rn 中的一個連通開集合必路徑連通。

動態規劃 生產線問題，到達每一關最短的時間，可以由上一關的最短時間加上多的時間比較而知，由此遞迴需時O(2^n)。使用動態規劃只需 O(n)。 具有以下兩性質者可以利用動態規劃： optimal substructure：可以使用遞迴。 Overlapping Subproblems：遞迴時會重複遇到同樣的問題。 m*n 矩陣和 n*o 矩陣相乘需要運算 O(mno) 次，得到 m*o 矩陣。 因此一長串矩陣相乘，有不同的組合、括括號的方式，在最後一次相乘的各種方式中找出最小值，就可得到最快的方法，藉此可遞迴解決此問題。 在每一種方式中，計算兩子問題的最快方法再加上最後一次相乘的時間，即可算出某種括號方式的最快時間。但直接遞迴需要用到 O(3^n) 的時間。使用動態規劃只需 O(n^3)。 一個字串的 subsequence 是指由原字串剔除(沒有剔除也算在內)掉某些字元後剩下的字串，兩個字串的 longest common subsequence 是指兩個字串相同的子字串中最長的那些字串。 兩個字串的字尾如果相同，那字尾一定在 LCS 之中，且 LCS 是兩個字串都剪掉字尾後的 LCS 再加上字尾。若是字尾不相同，那麼 LCS 要嘛不包含第一個字串的字尾，要嘛不包含第二個字串的字尾，利用此性質可得一遞迴解法，時間 O(2^(m+n))，使用動態規劃只需 O(mn)。 電子字典中，每一個字被查詢的機率不同，每個錯字區間也是如此，希望設計出一個搜尋樹(最佳二元搜尋樹)，使得平均搜尋的時間最短，在一個搜尋樹中，搜尋時間的期望值即每個字或區間的機率乘上其所在的深度再相加，可以發現最佳搜尋樹的兩個子樹也要是最佳搜尋樹，而一棵樹的搜尋時間為整棵樹的機率加上兩個子樹的搜尋時間。藉此可得出一遞迴方法計算所有可能的搜尋樹得出最佳解。 使用動態規劃，由只有一個元素的搜尋樹開始，計算搜尋時間，層層疊上計算出所有可能的子搜尋樹的最佳解，最後即可得完整的最佳搜尋樹。

一個非空集合 S  countable，等價於： (1)存在由 S 到正整數的一對一函數 (2)存在由正整數到 S 的映成函數 countable 個的 countable set 聯集仍然 countable countable set 的 finite product 仍然 countable 實數中的任意區間皆不 countable

path VS trail 在一個 graph 中，我們將相鄰的頂點一個個連接起來，形成一個頂點序列，若其中每個頂點只出現一次，這就是一個 path 。 trail 是 path 的推廣， 我們將相鄰頂點一個個連接起來，形成一個頂點序列，若此序列沒有重複使用任一條 edge，則這個序列就是一個 trail。 由定義可知， 一個 path 必定也是一個 trail ，因為頂點不重複的 path ，其連線必定也不會重複；然而 trail 不一定是個 path ，因為 trail 可能使用了同一個頂點的兩條以上連線，如此一來就會造成該頂點重複。 然而我們可以經由修剪 trail 序列而造出 path 序列，只要將 trail 中重複的頂點之間的所有頂點去掉，例如：a-b-c-d-e-b-f   ->   a-b-f，直到序列中沒有重複的頂點即可 ，我們可以發現這個過程並沒有改變序列中任何頂點的鄰居，因此序列中相鄰的頂點仍然會是 graph 中相連的頂點。 簡單的說： path 不允許頂點重複； trail 不允許連線重複。

planar graphs 若一個 graph G 可以畫出一個兩兩 edge 不相交的平面圖，則我們說他是一個 planar graph。而這種不相交的畫法就稱為 G 的 plane graph。 一個 planar graph 可以有許多 plane 畫法。

Def：invariant subspace 若 T 為作用於 V 的線性算子(本文的 V 皆假設為有限維向量空間)，W 為 V 的子空間，且 T(W) 包含於 W，則我們說 W 是 T 作用下的的不變子空間 (T-invariant subspace)。 不變子空間中的元素經過線性變換後，仍會留在原本的子空間中，特徵空間正具有這樣的性質，因為其中向量經過線性變換只會有倍數的改變，因此當然落在原本的特徵空間之中，不僅是特徵空間，由任意幾個特徵向量織成的空間也具有此性質，因為經過線性變換後，其中的向量仍會是這幾個特徵向量的線性組合。 其他不變子空間：零空間、Range、Null、V。 *特徵空間與不變子空間： 特徵空間的每個向量經過線性變換後會乘上同一個倍數，而不變子空間的向量經過線性變換後，僅保證結果會是其基底的線性組合。

科布 <<邁向建築>> 現代主義建築是一場工程師與傳統建築師的對抗，當工業時代來臨，各種發明傾巢而出的同時，建築在這場革命中卻是缺席的，當各種新材料與技術出現，而建築學院裡所談的仍然是各種樣式、如何建出裝飾華麗的城堡與宮殿。 科布認為 " 應該使建築如同輪船、飛機與汽車一般地健全、合理、果斷、和諧、與完美。" 現代主義捨棄過去建築師所追逐的虛華矯飾，而將建築視為" 居住的工具 "，並期望建築同時展現出功能、協調、與美。科布認為建築所需要的是工程師的思維，工程師的腦袋裡想的是如何解決問題，透過計算與構想，他們知道如何完成一個適宜人居建築所該擁有的功能。 現代主義的審美觀嚮往【工程美學】，一種簡潔有力，捨棄掉無謂的裝飾，而顯露出內在工程思維的美，正如同數學公式一般，在現代主義眼中，簡潔的幾何形狀等清晰且明確的意象才應該是建築最主要的元素。

Matching：配對 配對問題通常由兩組具有關係的頂點組成，也就是說，所有第一組的頂點都只與第二組的頂點形成配對，而同一組內沒有任何的配對 (我們稱這樣的圖形為  bipartite graph )。而在配對問題中，我們的目標是： 找到一個將兩組頂點一對一配對的方法，或證明這不可能 。

Similar 若 A 與 B 為 n*n 矩陣，且存在一個可逆矩陣 Q ，使得 B = Q -1 AQ，則 B is similar to A，記為 B ~ A。

Def：linear combination 若向量空間 V 中的元素 v ，可由 V 的子集合 S 之元素  u i  表達為： v = a 1 u 1 + a 2 u 2  +...+  a n u n   那麼我們說 v 是  u 1 , u 2 , ... , u n 的一個線性組合( linear combination )，而稱  a 1 ,   a 2 , ... ,   a n 為這個線性組合之係數( coefficients )。 我們所關注的問題是：一個向量是否可被寫成某些向量的線性組合。若是可以，要怎麼做。 我們可以發現，這個問題就等同於要我們找出對應的係數，因此我們將係數設為未知數，藉由對照等式的兩端，我們得到一個線性方程組，因此， 尋找線性組合的問題就被簡化為：解出線性方程組(linear equation)。

Def：複數的極限 若複數數列 z m =  r m +  i * s m  ，則 z m  的極限：  lim m->無限  (z m) =  lim m->無限  (r m  +  i) * lim m->無限  (s m )。

Discuss 當一個函數 u 的微分可表示為某個矩陣 A 乘上 u ，就預設了函數 u 由數個分量函數組成，而各個分量函數的微分為這些分量函數的線性組合，A 正記錄著這個線性組合。 我們的目標是求出函數 u 。然而僅由"某函數微分為某某函數的線性組合"是得不到結果的， 但我們知道若一個函數"微分為自己的倍數"則他會是一個指數函數，我們又知道特徵向量的線性變換為自己的倍數，因此我們想辦法使用特徵向量與分量函數的乘積，組合出原本的函數 u (特徵向量並不是函數。我們只是將原本 u 的分量與標準基底向量的表示法，改為 u 的分量與特徵向量的表示法)。

Def：逆矩陣 若對於矩陣 A 有一個矩陣 B ，使得 AB = BA = I，則我們說 A 為可逆矩陣，且 A 與 B 互為逆矩陣。 逆矩陣可如此得到： 其中 det(A) 為 A 的行列式，adj(A) = cof(A) t ， cof(A) 為 A 的餘因子矩陣，於因子矩陣中，每一個項 Mij 為去掉該行該列後剩餘的行列式，再乘上 (-1) 的 i + j 次方後，所成的方陣，將這個方陣轉置後就得到伴隨矩陣 adj(A)。 因為定理【行列式相乘會等於矩陣相乘再取行列式】，因此可逆矩陣之行列式必不為零。

複數 複數可用 a + bi 表示，也可用極座標表示，r * (cosA + isinA) = r * e iA ，其中A為角度，r 為複數之長度，由極座標表示可以發現一個重要的性質，兩複數相乘就是把長度相乘、角度相加。 將一個複數的虛部變號就得到他的共軛複數，我們可以發現在複數平面上，兩共軛複數互相為對實數軸的鏡射，以極座標的角度來看就是角度變號，因此馬上可以推得，共軛複數相乘會是一個實數 (因為角度抵銷為零，回到實數軸)，共軛複數有下列特質： 1. 複數相乘再取共軛 = 先取共軛再相乘。 2. 複數相加再取共軛 = 先取共軛再相加。 3. 共軛複數相乘為實數。

Def：向量空間的和 (Sum) 若 W 1 ,  W 2 , ..., W k 為向量空間 V 的子空間，我們定義這些子空間的和為：從這些子空間中各取一向量後相加，所成之集合，記為 W 1 +  W 2 + ... + W k 。 若 V = W 1 +  W 2 ，則任意 V 之元素皆可使用 W 1 與  W 2 的元素相加而成。 Def：Direct Sum 若 V = W 1 +  W 2 + ... + W k ，且任一個子空間 W i  與【其餘子空間之和】之交集皆為零向量空間，則我們稱 V 是這些子空間的 direct sum ，使用加上圓圈的加號表示。 若 V 為 W 1 與  W 2 的 direct sum ，則 V 中的任意向量皆可以由 W 1 與  W 2 的元素相加而成，我們可以發現，若改變其中一子空間取出之向量，因為各子空間互相獨立，將無法藉由改變其餘子空間之向量以彌補，因此取法是唯一的。 #### Thm 以下的命題皆等價： 1. V 為子空間  W i  ， i = 1 ... k ，的 direct sum。 2.  V 為子空間  W i  的 sum ， i = 1 ... k ，而且若在各子空間中各找任一向量，則這些向量會線性獨立。 3. 每一個 V 中的向量 v ，皆恰好能在這些子空間中找到唯一一組向量，使得這些向量之和等於 v 。( 每個子空間一個向量 ) 4. 只要將各個子空間的基底聯集起來，就會得到一組 V 的基底。 5. 存在一組子空間的基底，聯集後會成為 V 之基底。 Thm 一個作用於有限維向量空間 V 的線性變換 T 可對角化，若且惟若 V 是 T 的特徵空間的 direct sum

Def：特徵多項式 1. 若 A 為 n*n 的方陣，則係數 k 為其特徵值，若且惟若 det(A-kI) = 0。我們將 f(t) =  det(A - tI)  稱為 A 的特徵多項式。 2. 若 T 為一個 n 維線性變換，b 為一組基底，令 A = [T]b，則   f(t) =  det(A - tI)  為特徵多項式。 特徵多項式的解並不會因為選取 不同 基底而改變，也就是說，若選取特徵向量為基底，則特徵多項式會是： 連乘的 (k i  - t ) 其中   k i  為特徵值，很明顯的： 1. 此多項式的解會是   k i 。 2. 特徵多項式的常數項會是：特徵值  k i  的乘積 。 3.  特徵多項式的  n - 1 次方項會是：特徵值   k i  的和。 而無論矩陣 A 是否對角化，以上特質皆會成立。 #### Thm a. 特徵多項式的領導係數為 (-1) n 。 b. A 最多有 n 個不同的特徵值。 Thm 若 k 為線性變換 T 的一個特徵值，則 v 為其對應的 特徵向量 若且惟若 (T - kI) v =  0 ，且 v 不等於零向量 。 Thm 1. 若在一個線性變換中，每一個相異的特徵值各取一對應的 特徵向量 ，這些向量會形成一個 線性獨立 的集合。 2. 若 T 為一個作用於 n 維 向量空間之線性變換，且 T 有 n 個相異特徵值 ，則 T 可對角化 。 Thm 1. 若一個以 F 為係數之多項式 f(t) ，可以表示成： f(t) = c(t - a1)(t - a2)...(t - an)       (c 及 ai 為 F 之元素。) 則稱 f(t) 可在 F 下分解 (split over F)。 2. 任意可對角化的線性變換，其特徵多項式必可分解。 Def： multiplicity (代數重根數) 若 k 為一個特徵值，若 (t - k) c 為特徵多項式之因式，則我們稱能滿足這個條件之最大整數 c 為 multiplicity of k，又稱為代數重根數。 multiplicity 並不代表 該特徵值 k 所對應的 特徵向量的數量 ，因為特徵向量有可能不存在。 Def：特徵空間 (eige

Def：Graph 一個 Graph G = (V, E) 由 V 與 E 兩個集合所組成，其中 V 為有限集合，其元素稱為頂點 ( vertices )；而 E 之元素稱為連線 ( edges )，為相異的頂點所成之配對。 雖然我們稱 V 中元素為頂點，然而事實上 V 可為任意集合，不過是名字的差異。 我們稱 E 中元素為連線，然而事實上我們只定義了其元素為兩個相異頂點的 配對 ，通常我們使用數對來表示， 而既然表示的是配對，順序便不構成差別：(a, b) = (b, a)。 我們並未規定 E 包含了多少相異頂點之配對。 我們可使用圖形來表示一個 Graph ，使用點代表每一個頂點，使用兩點間之連線代表兩頂點之配對。 Graph 的圖形不會出現連回到同一點的線(loops)，那不是一個配對。 #### Def：adjacent、path、circuit、 connected  1. 在一個 Graph 中，若 E 中存在某兩頂點之配對，則我們說該兩頂點相鄰 ( adjacent )。 2. 一個 path 是一個由相異的  vertices  組成之數列，記為 P = x 1 -x 2 - ... -x n ，而其中任意 x i   與 x i+1  及 x i-1 必須相鄰。 3. 若是  x 1 -x 2 - ... -x n  中， x 1  與  x n  相鄰，則我們稱之為  circuit ，記做   x 1 -x 2 - ... -x 1   。 4. 若一個 Graph 中，任意兩頂點間，皆可找到一個 path 相連，我們稱這樣的 Graph connected。 Def：disconnect disconnect 一個 connected  Graph 所指的是，透過自 V 中 移除某些頂點 ，或自 E 中 移除某些配對 ，使得剩下的 Graph 不再是一個  connected Graph。 因為我們考慮 的是剩下的 "Graph" ，因此若有一個頂點被移除掉，則與之相關的配對也要跟著移除，否則無法構成一個 Graph。 而此剩餘的 Graph 被分解成數個互相不相連之區塊，而這些區塊有可能是一個 vertex，或是數個相連的 vertices。 值得注意的是：若一個 Gra

對角化問題 對於作用於有限維向量空間 V 上的線性變換 T ，我們想問： 既然我們可以透過改變基底，來改變線性變換矩陣，那麼，有沒有辦法為找到一組基底 b ，使得 [T] b  成為一個對角線矩陣呢？若是可以，又要如何找到 b 呢？ #### Def：可對角化(diagonalizable) 若一個作用於有限維向量空間 V 的線性變換 T ，可以找到一組 V 的  ordered basis b，使得  [T] b  為一個對角線矩陣，則說 T 為可對角化。若是一個方陣 A 所對應的線性變換 L A  可對角化，則說 A 為可對角化。 我們可以發現，若將向量對基底 b 分解，再經過 [T] b  這個線性變換，得到的結果仍然是一個由 b 所表達的向量，但是 [T] b  現在是一個對角線矩陣！也就是說，若該向量為該基底中的向量 vi，其線性變換時，只會乘上 [T] b   中的第 i 行第 i 列的項 ki，結果是自己的倍數。 即使我們以別組基底表示這個線性變換與向量，b 中的向量仍然具有線性變換後為自己倍數的性質，這是與 T 的表示法無關的，總而言之 ，b 是一組線性變換後，方向不會改變的向量！ 換句話說，若 T 可藉由 b 對角化，且b = {v1, v2, ... ,vn}，則： [T ] b  vi   =   kivi T(vi)   =   kivi 反過來看，若上述兩式子成立，找得到這麼一組向量當基底，T也理所當然可對角化。 總結來說，若找得到這樣的一組向量作為基底，就是一個可對角化的線性變換；而可對角化的線性變換也必定具有這樣一組基底。 Def：特徵值與特徵向量 對於線性變換 T ，向量空間 V ，若 v 屬於 V ，且 T(v) = kv ( k 為一常數) 則稱 v 為 eigenvector (特徵向量)、k 為 v 的 eigenvalue (特徵值)。 對應於對角化的討論，我們發現，特徵向量便是那些不被線性變換改變方向的向量，而特徵值則是該向量伸縮的倍數，同時也是對角線矩陣上的數，因此我們可以發現，每一個特徵向量都將會對應到一個特徵值，然而一個特徵值可能對應到一組或數組互為倍數關係的向量。 舉例： 若 C(R) 是由 R 到 R 的可無限次微分的函數所成之集合 (例如：多項式、三

前言： 若 V 是一個 n 維的向量空間，W 是一個 m 維的向量空間，則我們可以在這兩個空間中建立一個由 V 至 W 的線性變換 T ，而我們又可以使用矩陣來表示線性變換，而線性代數研究的便是如何處理這些矩陣，然而矩陣的乘法頗為複雜，因此我們的目標是： 將矩陣簡化為對角線矩陣。 以基底的線性組合來表示向量 我們可以為 V 與 W 找一份基底，分別為 a = { v1, v2, ... ,vn } ，及 b = {w1, w2, ... ,wm} ，則 V 中的任意向量便可以表示為 a 的線性組合，例如 v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ，我們又可以將係數抽離出來，成為一個向量， c = (c1, c2, ... ,cn) ，如此一來，我們再將 c 立起來，變成一個 column vector ，記為 [ v ] a = [ c ] ，此即 v 對應於基底 a 的 column vector 。 #### 線性變換矩陣 基底是一個向量空間的基礎，因此我們將基底 a 中的元素 vj 經過線性變換，變成了 T(vj) ，為 W 中的元素，既然是 W 中的向量，那就可以用 W 的基底 b 來表示，我們將每一個 T(vj) 對於 b 的 column vector 排排站好，變成一個 m x n 的矩陣，也就是 ( [T(v1)]  b  ,   [T(v2)]  b  , ... ,  [T(vn)]  b   )  ，我們稱這個矩陣為 A 。 這樣一來， A 這個矩陣，就是 a 這組基底裡每一個向量經過線性變換後，再由基底 b 將每一個 T(vj) 表示為 column vector 的結果。 如此一來，若是將 A 乘上  v  對應於基底 a 的 column vector ，即  A[ v ] a ，則剛好每一個係數 ci  都會剛好乘上其對應向量 vi 的線性變換 T(vi)，而其結果會是由 b 所表達的 T( v )，即：   A[  v  ] a   =    [ T( v)  ] b 這顯然是個非常好用的矩陣，如此一來，我們只要知道一個向量對 a 的分解，則透過這個矩陣，我們就可以知道他經過線性變換後對 b 的分解。  A = [T] a b 。

Matrix：   ( a11, a12, ...  , a1n  )                     ( a21, a22, ...  , a2n  )                     ( a31, a32, ...  , a3n  )                     (  ...  ,  ...  , ...   ,    ...  )                     ( am1, am2, ...  , amn  )                以上是一個 mxn 的矩陣向量空間，記做 M mxn (F) ，矩陣中的 a ij 稱為矩陣的【項】，為 F 中的元素。以下為一些矩陣的性質與專有名詞： #### 向量加法： 將對應位置的項相加 係數積： 將係數乘入矩陣中各個項 表示一個矩陣： 使用大寫英文字母，如：A、B 表示矩陣中一個項： 使用該矩陣的符號加下標，如：A ij row： 第一個下標相同的項，即同一橫條的項，組成一個 row column： 第二個下標相同的項，即同一直條的項，組成一個 column diagonal entries： 對角線項，兩個下標皆相同的項 trace： 矩陣對角線項的和，記為tr(M) 零矩陣： 矩陣中所有的項皆為零 方陣： 長度寬度一樣的矩陣， m = n 對角線矩陣： 對角線項以外的項皆為零的方陣 關於下標： 可以想像矩陣是一棟地底大樓，第一個編號是樓層的深度，第二個編號則是房間號碼，我們得先搭電梯到對的樓層，才能找到對的房間。  Transpose：轉置矩陣 轉置矩陣即將原本矩陣的 row 與 column 互換，因此若原本是 mxn 矩陣，轉置後會變成 nxm 矩陣，我們將 A 的轉置矩陣記為 A t  ，轉置矩陣的數學式表示如下 (A t ) ij = A ji Symmetric matrix：對稱矩陣 若一個矩陣與他的轉置矩陣相等 ，即  A =    A t ， 也就是說   A ij  = A ji， 我們就稱他為對稱矩陣 ，對稱矩陣必定是 方陣 ，且對稱與否與對角線項無關，因此 對角線矩陣 必定為對稱矩陣。 所有 nxn 的對稱矩陣，包含於所有 mxn 方陣這個向量空間之中，又因為零矩陣為對稱矩陣，且對稱矩

Def： subspaces 子向量空間 若 W 為向量空間 V(F) 的子集合，且其運算方式與 V 相同，若 W 也是一個向量空間，則我們稱 W 為 V 的子空間。 (ps. V(F) 表示V定義在 Field F上。) 因此要證明 W 是一個子空間，就必須證明他是一個向量空間，但因為 W 已經是 V 的子集合，因此顯然有許多性質不需再被檢驗，例如交換律、結合律等對 V 中所有向量皆適用的性質。 因此若已知【 W 為 V 的子集合】，且【運算的定義相同】，要證明 W 為 V 的子空間，只需檢驗以下性質即可： (a) 向量加法封閉性 (b) 係數積封閉性 (c) 加法單位元素：零向量 存在 (d) 每一個向量的加法反元素存在 #### 其中 (c) 可以利用消去律證明該零向量與 V 中的零向量是同一個。 且其中 (d) 其實是可以省略的，這是因為係數積封閉性的緣故。因為係數來自一個 Field ，而 Field 必定包含 1 這個係數 (乘法單位元素)，且同時包含 1 的反元素 -1，這麼一來，根據係數積封閉性，若 x 為 W 中的一個向量，則 -x 也必定會存在於 W 之中。 問：既然如此，為什麼在向量空間的定義中不也省略反元素這一項？ 若是不在向量空間的定義中定義反元素，將會造成許多問題。雖然每個 x 可以經由係數積的封閉性造出 -x ，然而 x + (-x) = 0x 卻是未被定義的！回頭看看 向量空間 的定理， 0x = 0 是由消去律所證出來的，然而消去律卻是由反元素性質所證明！ 也就是說，若是不去定義反元素，我們可能無法僅僅由其他定義證出消去律，而隨著消去律而來的許多有用性質也會跟著付之一炬。 其實在向量空間的條件中定義反元素時，不僅是讓每一個向量都對應到一個反元素，也同時在每一個向量與零向量之間形成連結，在定義了反元素之後，零向量才有其用武之處，零向量與反元素其實是一體兩面啊！ 回過頭來看子空間的情形，可以發現上述的問題不會發生，因為子空間包含於向量空間之內，而在向量空間之中是可以使用消去律及其他定理的，因此 x + (-x) = 0x 不會陷入未定義的窘境。 Thm： 在同一個向量空間中，任意子空間的交集都會是一個子空間。 這個定理可以輕易獲得證明，若現在有兩個子空間 V 、W，兩子空間皆包含零向量，因此其交集也必包含零向量

向量空間： 向量空間由 兩個集合：V、F ， 兩種運算方式：【向量加法】、【係數積】 構成。   V ：該空間中所有向量的集合  F ：可作用於向量上之係數所形成之 Field   向量加法 ：由 V 中兩個元素對應至 V 中另一元素的運算   係數積 ：由 F 中一元素與 V 中一元素對應至 V 中一元素之運算 向量空間中的向量加法與係數積，與一般算術之加法與乘法不一樣， 向量加法牽涉到方向的相加 ( 牽涉到順序 )，而係數積則是一個外在的係數乘以向量，並非兩個向量相乘，因此在向量空間中需要另外一個由係數構成的集合 F。 #### Def： vector space (  向量空間 ) 一個定義在Field  F 、向量加法及係數積之上的向量空間 V 具有以下性質： ( 其中 a, b, c 屬於 F ， x, y, z 屬於 V ) 1. 加法封閉性：向量 x + y 屬於V 2. 加法單位元素：V 裡頭存在 0 向量，使得 x + 0 = x 3. 加法反元素：對任意向量 x 都可以找到一個 y ，使得 x + y = 0 4. 加法交換律：x + y = x + y 5. 加法結合律：x + (y + z) = (x + y) + z 6. 係數積封閉性：向量 ax 屬於V 7. 係數積單位元素：對於任意 x， 1x = x 8. 係數積結合律：(ab)x = a(bx) 9. 係數積分配律：a(x + y) = ax + ay 10.係數運算的分配律：(a + b) x = ax +bx 為什麼沒有係數積反元素？ 加法反元素之結構為，一個向量，加上反元素(向量)之後，變成加法單位元素 0 向量。對應至係數積，我們期待係數積反元素之結構為：一個係數，與係數積反元素做運算後，變成係數積單位元素 1。 然而這並沒有意義，因為這樣的結構已經包含在 F 這個 Field 之中了，也就是說， 定義向量空間時，其實已同時為係數的集合內定了一個結構，因此係數本身即具有加法與乘法，及其他 Field 之性質 ，然而這與整個向量空間的關係不大，我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好，因此我們有 8. 10. 項，確保係數間的運算，在係數積的運算中能保持一致。 n-tuple： (a1, a2, ... ,an)

Def：Field 一個 Field  F 定義在一個集合與兩種運算方式之下，兩種運算分別為加法 ( + ) 與乘法( * )。若 a, b, c 為 F 中的元素，則具有以下性質： 1. 乘法與加法封閉性與唯一性：a + b 與 a * b 唯一且皆屬於 F 2. 乘法與加法單位元素：0、1 屬於 F ，使得 a + 0 = a 且 a * 1 = a 3. 乘法與加法反元素：任意 a 皆存在 b、c ，使得 a + b = 0 、 a * c = 1，(只有 0 沒有乘法反元素) 4. 乘法與加法交換律：a + b = b + a  、  a * b = b * a 5. 乘法與加法結合律：(a + b) + c = a + (b + c) 、 (a * b) * c = a * (b * c) 6. 乘法對加法的分配律：a * (b + c) = ab + ac R 是一個 Field 、有理數也是一個 Field、Z2：{0, 1}，其中1 + 1 = 0，其餘運算與與正常運算相同，這也是一個 Field 。 經由加法與乘法反元素，可以定義減法與除法為與反元素相加或相乘。 #### Thm：消去律 對任意 a, b, c 屬於 F (1) 若 a + b = c + b ，則 a = c (2) 若 a * b = c * b，且 b 不等於 0，則 a = c 由反元素、結合律即可證出 corollary：由此定理可證出加法及乘法單位元素唯一。 Thm  若 a, b 為 Field F 中的元素，則具有以下性質： (1) a * 0 = 0 (2) (-a) * b = a * (-b) = -(a * b) (3) (-a) * (-b) = a * b 其中(1)可利用 0 + 0 = 0 與消去律證得，(2)則是各自檢驗前兩項符合 a * b的反元素，(3)可由(2)證得。 Characteristic 在上方 Z2 的例子中，可以發現有一些 Field 具有循環的特質。即其乘法單位元素 1 ，在連加 p 次之後，其總和會是 0 ，對於一個 Field ，我們把最小的 p 稱為這個 Field 的 Characteristic ，而若是沒有任何正整數 p 可以符合，則稱這個 Field 的

群和集合之運算： group通常在自己的元素之間，做自己定義中的運算。 但現在我們要將group中的元素和其他【集合】中的元素做運算， 而運算的結果落在該【集合】之中。 map *：G x X  ==> X  當滿足以下性質： ( e 是 group 中的單位元素，g1, g2 屬於 G，x 屬於 X ) ex = x  ( g1g2 ) x =  g1 ( g2 x ) 我們說 X 是一個 G-set 這樣看起來，這個運算可以看成是 X 集合的重新排列， 每一個 G 中的元素都對應到一組重排 ，而我們並沒有規定每個 G 中的元素應該對應到不同的排列方式，也就是說我們甚至可以讓每個 g 屬於 G 都和 e 對應到一樣的排列：保持原樣。 然而，X 的排列方式不一定比 G 的元素多，假設 Sx 代表 X 所有排列方式的集合，當他的元素比 G 少，那麼在分配排列給 G 中的元素時，就會有好幾個 g 分到同樣的排列，合理懷疑這樣的分組，會形成factor groups，而 G 到 Sx 的映射是一個homomorphism。 #### 證明 f：G 到 Sx 是同態映射，我們必須證明先運算再映射會等於先映射再運算： f (g1) f(g2) = f (g1g2) 然而在這裡Sx只是我們的中間產物，我們必須透過上面的定義來檢驗此等式 ( f (g1) f(g2) ) x = f (g1) ( f(g2) x )   = 先經過 f (g2) 的排列之後，再做 f (g1) 的排列 = 先經過 g2 的運算之後，再做 g1 的運算 = g1 ( g2 x )  = (g1 g2) x = f (g1g2) x  (得證) 經過這個證明， 我發現對於 x 而言，g 與 f (g)，根本就是一樣的東西 ，代表的都是重新排列，唯一的差別在於，g 是雜亂未經整理的，不同的 g 可以代表同樣的排列，而 f (g) 是將這些雜亂的東西過濾，留下的純粹的排列，也就是說 f (G) 是這個運算中不重複的所有的可能。 若是對於任意 x1, x2 屬於 X ，都存在 g 屬於 G

同態到同構： 在同態的筆記中，我們發現，同態映射會造成某種縮減 ( 造成多映射到少，由 kernal 所造成 )，而我們現在創造一個新的 group ，將這些會對應到同一個元素的東西進行包裝，包裝成新的 group 中的元素，再定義運算的規則，於是乎，我們將原本的同態升級成了同構。 normal subgroup： 當 H 為 G 的 subgroup，而對於 G 中任意元素 a 而言，h 屬於 H，若是：   a'ha 屬於 H       (a' = a的反元素) 或是     a'Ha = H       或是 aH = Ha 則稱 H 為G的 normal subgroup #### factor groups： 在一個 group G 中，我們可以找一個 normal subgroup H，來為G進行分組，而形成一個新的group： G / H，這個 group 由 H 和 G 中的元素做運算所組成， 如： aH, bH,  a,b屬於G 而  G / H 這個 group 中的運算就定義成： (aH)(bH) = (ab)H 我們說這個 group 是 G 的 factor group by H 可以想像若原本 G 是一塊長方形， 則 H 將他切成一條一條，原本在 G 中，兩點運算會對應到另一點；但在 G / H 中，變成兩條線 L1, L2 的運算對應到另一條線 L3，而且 L3 由 L1, L2 上的【任意點】做運算對應到的點所在的線所決定，也就是說，兩條線中任意點的運算，所對應到的點都會在同一條線上。 也就是說，我們使用  normal subgroup 進行分組之後，每一組裡的任一成員都能完整代表整個組，也就是說相對於分組的條件而言，組內雖然有許多不同的元素，但其本質都是相同的 ( 面對分組條件會產生相同反應 ) 而在同態映射的例子中，我們選用 kernal 作為 H，因此  factor group 就可以和原本的值域有isomorphism的映射。( 原本若是多對一就會被 H 吃掉 )   G 到 G / H 也是一個 homomorphism ： f (a) = aH  ,  

homomorphisms：同態   =>  同構(isomorphism)的弱化 當 我們說兩個group同構或同態時，我們所指的是： 在兩個grooup之間的某個滿足某些條件的 函數關係 。 . . . 而 同態 所指的是，兩個群(group) < S ,* >、< S' ,*'> 之間存在這樣的映射：   f (x * y) = f (x) *' f (y) , 對所有 x, y 屬於 S  ( 對定義域裡所有的元素而言，不論先做運算再做映射， 還是先做映射在做運算，都會得到相同的結果， 殊途同歸 。 ) 而 同構 的定義即是將上述定義中的的函數 加上一對一及映成 兩個條件。 . . . #### 可以 發現在等式的兩邊，所做的運算屬於不同的群 (* ,*')，因此我們可以利用這個等式 來檢驗兩個群中運算符號的性質。 同態保證了： 元素經過運算所造成的改變，在函數的另一頭一定找的到對應的改變。 元素只對該同態映射所揀選的性質，在另一頭作出反應 ==>同態映射只挑選了某些性質進行對應 例如：trivial homomorphism    f (x) = e' , 對任何 x 屬於 S 。 這個函數中沒有挑選任何性質， 就像是函數戴上黑色的眼鏡，不接收顏色的資訊，如此一來，所有的調色在函數另一頭都是一片黑暗。 . . . 例子： 加法整數群與< 0 1 2 3 ... n, + >  ( n+1=0 ) 同態映射：f (x) = 對 x 取 n+1 的餘數 可以由高中數學的同餘關係證明，這是一個同態映射， ( 這個映射所挑選的性質是 n+1 的餘數， 由此可見餘數與右邊那類的 group 有相同的性質，例如循環 ) . . . Thm ： 對每一個從G到G'的同態映射而言 1. G裡的 identity 將會映射至 G' 裡的  identity 2. 元素與反元素的關係到了函數另一頭仍然存在 3. 定義域的一個 subgroup 經過映射後，也會是對應域的一個 subgroup 4.  對應域的一個 subgroup 經過反映射後，也會是定義域的一個 subgroup 綜合來說，經過同態映射後， 單位元素、反元素、子群的性質會保留。 . .