【線性代數】複數矩陣與 Hermitian 矩陣
- 複數
複數可用 a + bi 表示，也可用極座標表示，r * (cosA + isinA) = r * eiA，其中A為角度，r 為複數之長度，由極座標表示可以發現一個重要的性質，兩複數相乘就是把長度相乘、角度相加。
將一個複數的虛部變號就得到他的共軛複數，我們可以發現在複數平面上，兩共軛複數互相為對實數軸的鏡射，以極座標的角度來看就是角度變號，因此馬上可以推得，共軛複數相乘會是一個實數 (因為角度抵銷為零，回到實數軸)，共軛複數有下列特質：
1. 複數相乘再取共軛 = 先取共軛再相乘。
2. 複數相加再取共軛 = 先取共軛再相加。
3. 共軛複數相乘為實數。
- 複數向量
向量由 Rn 到 Cn，有一些定義上的改變，例如長度：
Rn 向量的長度：平方相加開根號 = 與自己的轉置相乘開根號。
Cn 向量的長度：實部虛部平方相加開根號 = 與自己的共軛轉置相乘開根號。
而在 Cn 中，內積的定義也跟著被擴充為：
Cn 中的內積： 將第一個向量取共軛與轉置後，乘上第二個向量。
而在此種定義下，內積將與順序有關，不同順序可能得出不同答案。我們將轉置與共軛合併以上標 H 表示，如此一來：
1. x 和 y 的內積 = xHy。
2. x 的長度 = (xHx) 開根號。
3. (AB)H = BHAH。
- Hermitian Matrices
在實數中討論時，矩陣擁有對稱矩陣；而引進複數後，我們有 Hermitian 矩陣。
Hermitian 矩陣為共軛轉置後不變的矩陣，即 AH = A。
我們可以發現，Hermitian 矩陣的對角線必須全部為實數，而上下三角對應的兩個項會互為共軛，除此之外， Hermitian 矩陣還具有以下幾個性質：
1. 若 A 為 Hermitian 矩陣則對於任何的複數向量 x ，xHAx 會是實數。
因為矩陣 A 的對角線項為實數，而向量 x 與 xH 乘入對角線項時，每個分量皆會與自已的共軛相乘，因此對角線所提供的部分會是實數。而矩陣 A 中非對角線的部分具有上下互為共軛的關係，且對應的項在乘上 x 的分量後，兩個項仍然是互相共軛，因此最後非對角線的部分加起來也是實數。
2. Hermitian 矩陣的每一個特徵值都是實數。
若 k 是 A 的一個特徵值，則對於對應的特徵向量 x ，Ax = kx，而我們可以利用特性 1. ， xHAx = kxHx，而因為等式的左邊為實數，k就只能是實數了。
3. Hermitian 矩陣中，對應到不同的特徵值的特徵向量會兩兩正交 (內積為 0 )。
若 Ax = kx , Ay = ty 且 k 不等於 t，我們將要證明特徵向量 x,y 內積為零，我們將第一個式子取轉置共軛再右乘 y ，xHAy = kxHy ，我們可以在式子裡發現內積 xHy 的蹤影，我們再將一開始的第二個式子左乘 xH，我們發現 kxHy = txHy，然而 k 不等於 t ，因此想必是內積 xHy 等於零了。
若是將這些正交的特徵向量除以他們的長度，我們就得到一組長度為一的正交特徵向量，我們稱這樣的向量 orthonormal，而這種由長度為一且兩兩正交的 column vector 組成的矩陣稱為 unitary 矩陣，它有一個很棒的性質：unitary 矩陣的轉置共軛矩陣就是他的反矩陣，因此 UHU = I。
4. 每一個 Hermitian 矩陣 A 都找得到一組由特徵向量組成的 unitary 矩陣 U ，且 U-1AU = UHAU = K。K 為對角化矩陣。
因此 A 可以表示成： A = UAUH = k1x1x1H + k2x2x2H + ... + knxnxnH 。
值得注意的是，分解後每一個 kixixiH 皆是與 A 同規格的矩陣。而若是將等式兩邊同時右乘上向量 b ，因為 xiH * b 是一個數，b 的線性變換就表示成在每一個分量 xi 上的分解。
- Def：skew-hermitian matrix
若 K 是一個 skew-hermitian matrix ，則 KH = - K，也就是說 K 的轉置共軛為 - K。
由其特性可知，這樣的矩陣對角線必定是純虛數，而上下三角對應的項之間，實部差一個負號，虛部則是同號。相較於 Hermitian 矩陣則是對角線為實數，上下三角對應的項之間，實部同號、虛部異號。
Thm：
若 K 為 skew-hermitian matrix，則 A = iK 為 Hermitian matrix；
若 A 為 Hermitian matrix，則 K = iA 為 skew-hermitian matrix。
而在 Hermitian 矩陣中的四個性質在 skew-hermitian 矩陣中則變成：
1. 對於任何的複數向量 x ，xHAx 會是純虛數。
2. 每一個特徵值都是純虛數。
3. 對應到不同的特徵值的特徵向量會兩兩正交 (內積為 0 )。
4. 找得到一組由特徵向量組成的 unitary 矩陣 U ， 且 U-1AU = K (對角化矩陣) 。
- Thm：unitary matrices 的性質
1. 同乘 unitary matrices 不會對內積造成影響：(Ux)H(Uy) = xHU HUy = xHy。
因此 Ux 的長度會等於 x 的長度。
2. U 的每一個特徵值 k 絕對值都等於 1 。(modulus?)
Ux = kx，|| Ux || = || kx ||，由 1. 可知， || Ux || = || x || = | k | || x ||，因此 | k | = 1，值得注意的是，在此處考慮複數，因此實際上可能的特徵值為複數平面上的單位圓。
3. 對應到 U 的不同特徵值的特徵向量會兩兩正交。
為了驗證是否正交，我們將 Ux = kx 與 Uy = ty 兩個式子取內積：
xHy = (k't)xHy，根據 2. 只有當 k 等於 t 時， k't 才會等於 1，然而兩特徵值不同，因此 xHy 為零。
4. 對於任意 U ，皆存在一個 unitary 矩陣 S ，使得 SHUS 為對角矩陣。
也就是說， unitary 矩陣存在一組兩兩正交且長度為一的的特徵向量。
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