【線性代數】 sum 與 direct sum

• Def：向量空間的和 (Sum)
  
  
  若 W₁,  W₂, ..., W_k為向量空間 V 的子空間，我們定義這些子空間的和為：從這些子空間中各取一向量後相加，所成之集合，記為 W_{1 +} W_{2 + ... +}W_k。
  
  若 V = W₁ +  W₂，則任意 V 之元素皆可使用 W₁ 與  W₂ 的元素相加而成。

• Def：Direct Sum
  
  
  若 V = W_{1 +} W_{2 + ... +}W_k，且任一個子空間 W_i 與【其餘子空間之和】之交集皆為零向量空間，則我們稱 V 是這些子空間的 direct sum ，使用加上圓圈的加號表示。
  
  若 V 為 W₁ 與  W₂ 的 direct sum ，則 V 中的任意向量皆可以由 W₁ 與  W₂ 的元素相加而成，我們可以發現，若改變其中一子空間取出之向量，因為各子空間互相獨立，將無法藉由改變其餘子空間之向量以彌補，因此取法是唯一的。

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• Thm
  
  以下的命題皆等價：
  
  
  1. V 為子空間 W_i ， i = 1 ... k ，的 direct sum。
  
  2. V 為子空間 W_i 的 sum ， i = 1 ... k ，而且若在各子空間中各找任一向量，則這些向量會線性獨立。
  
  3. 每一個 V 中的向量 v ，皆恰好能在這些子空間中找到唯一一組向量，使得這些向量之和等於 v 。( 每個子空間一個向量 )
  
  4. 只要將各個子空間的基底聯集起來，就會得到一組 V 的基底。
  
  5. 存在一組子空間的基底，聯集後會成為 V 之基底。

• Thm
  
  
  一個作用於有限維向量空間 V 的線性變換 T 可對角化，若且惟若 V 是 T 的特徵空間的 direct sum