向量空間： 向量空間由 兩個集合：V、F ， 兩種運算方式：【向量加法】、【係數積】 構成。 V ：該空間中所有向量的集合 F ：可作用於向量上之係數所形成之 Field 向量加法 ：由 V 中兩個元素對應至 V 中另一元素的運算 係數積 ：由 F 中一元素與 V 中一元素對應至 V 中一元素之運算 向量空間中的向量加法與係數積，與一般算術之加法與乘法不一樣， 向量加法牽涉到方向的相加 ( 牽涉到順序 )，而係數積則是一個外在的係數乘以向量，並非兩個向量相乘，因此在向量空間中需要另外一個由係數構成的集合 F。 #### Def： vector space ( 向量空間 ) 一個定義在Field F 、向量加法及係數積之上的向量空間 V 具有以下性質： ( 其中 a, b, c 屬於 F ， x, y, z 屬於 V ) 1. 加法封閉性：向量 x + y 屬於V 2. 加法單位元素：V 裡頭存在 0 向量，使得 x + 0 = x 3. 加法反元素：對任意向量 x 都可以找到一個 y ，使得 x + y = 0 4. 加法交換律：x + y = x + y 5. 加法結合律：x + (y + z) = (x + y) + z 6. 係數積封閉性：向量 ax 屬於V 7. 係數積單位元素：對於任意 x， 1x = x 8. 係數積結合律：(ab)x = a(bx) 9. 係數積分配律：a(x + y) = ax + ay 10.係數運算的分配律：(a + b) x = ax +bx 為什麼沒有係數積反元素？ 加法反元素之結構為，一個向量，加上反元素(向量)之後，變成加法單位元素 0 向量。對應至係數積，我們期待係數積反元素之結構為：一個係數，與係數積反元素做運算後，變成係數積單位元素 1。 然而這並沒有意義，因為這樣的結構已經包含在 F 這個 Field 之中了，也就是說， 定義向量空間時，其實已同時為係數的集合內定了一個結構，因此係數本身即具有加法與乘法，及其他 Field 之性質 ，然而這與整個向量空間的關係不大，我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好，因此我們有 8. 10. 項，確保係數間的運算，在係數積的運算中能保持一致。 n-tuple： (a1, a2, ... ,an)
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