【代數】筆記一
- 若兩個排列作用到的元素沒有交集，則此兩排列乘法有交換律。
- cycle：會構成一個循環的排列，如 1->2、2->3、3->1。
- Sn 中任一個排列皆可表示成不相交的 cycle 相乘。
- Sn 中任一個排列皆可表示成 2-cycle 的乘積。
- Sn 中的任一個排列只能表示為奇數個 2-cycle 的乘積，或是只能表示成偶數個的乘積
- 若兩整數除以 n 有相同餘數，則此兩數對 n 同餘。
- 若兩數對 n 同餘，此兩數相減可以被 n 整除。
- 等價關係：跟自己有關係 + 對稱性 + 傳遞性。
- Zn 中 a 的同餘類：將所有相對於 n 而言，與 a 同餘的數收集起來。
- 在同餘類中可以取一個代表來表示這個同餘類。
- 如果兩個數形成的同餘類相同，此兩數必同餘。
- 兩同餘類間的運算定義為：兩代表作運算後的同餘類。
- 所有的同餘類會構成一個 partition (連集為母集合，且互相無交集)。
- 若一個同餘類乘上某同餘類會得到 1 的同餘類，則此同餘類有乘法反元素。
- Zn 中 a 的同餘類有乘法反元素 <=> a 與 n 互質。
- 輾轉相除法：若 a, b 的最大公因數是 d，必找得到整數 x, y 使 ax+by = d。
- 二元運算：M*M 對應到 M 的函數。
- 二元運算的結合律與交換律。
- 二元運算的單位元素：與所有元素 a 做二元運算都得到 a 的元素
- 單位元素唯一。
- Monoid：一個具有二元運算的集合，且擁有結合律與單位元素。
- monoid 中的指數。(注意不能交換)
- a 的反元素：和 a 做二元運算皆得到單位元素的元素。
- 反元素唯一。
- 有反元素的元素稱為 unit。
- 群：一個有二元運算的集合，擁有結合律、單位元素，且任意元素有反元素。
- 有交換率的群稱為 abelian group。
- 將一個 monoid 中所有的 units 收集起來，就得到一個群。(使用 monoid 的運算)
- 子群。
- 若一個群的子集合有運算封閉性，任意元素有反元素，則是一個子群。
- 若一個群的有限子集合有運算封閉性，則為一個子群。
= 包含 x 的最小子群 = x 的所有次方構成的集合。 - 循環群 G：可以被一個元素生成的群，也就是 G =
。 - o(x)：可以讓 x 變成 1 的最小正整數。
- o(x) =
的元素個數。 - 循環群的子群也是循環群。
- 若一個群有 n 個元素，且由 g 生成，則由 g 的 k 次方生成的子群，會等於由 g 的 " k 與 n 之最大公因數 " 次方生成的子群。
- 同構：存在同構映射。
- 同構映射：一對一且映成，且兩元素運算後再映射等於映射後再運算。
- 兩個元素個數相同的循環群必同構。
- 同態：存在同態映射。
- 同態映射：兩元素運算後再映射等於映射後再運算。
- 一個元素 k 次方後做同態映射 = 一個元素做同態映射後的 k 次方。
- 同態映射後的影像會是對面群的一個子群。
- 一元素做同態映射後的 order 可以整除其原本之 order。
- 一個同態映射由他對生成元進行的映射所決定。
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