【高等微積分】筆記一

1. 一個非空集合 S  countable，等價於：
   (1)存在由 S 到正整數的一對一函數
   (2)存在由正整數到 S 的映成函數
2. countable 個的 countable set 聯集仍然 countable
3. countable set 的 finite product 仍然 countable
4. 實數中的任意區間皆不 countable

CH1.2 ~ CH1.4

1. 數列的收斂
2. 三明治定理，若一數列被夾擠於兩收斂至 x 之數列中，此數列亦收斂至 x

3. 極限唯一性
7. 若一數列單調(包含等於)遞增且有上界 => 收斂


4. 有界：存在某數較數列任一項絕對值都還要大
5. 有界則有上界與下界
6. 收斂數列必有界
8. 上界、下界、最小上界、最大下界
9. 無上界則設最小上界為無限，無下界則設最大下界為負無限
10. 最小上界、最大下界有唯一性
11. 若集合中某元素為上界，則必定是最小上界
13. 在實數中，一集合有上界必有最小上界  (以上幾點對下界亦然)
12. b 為最小上界 <=> b 是上界，並且無論在 b 的下方多短的距離內，都能找到集合中的元素


17. 子數列：一個由原數列中元素組成之數列，且元素之順序與原數列中相同
14. 科西數列：只要找的夠後面，則數列的後半段中任兩項之間的距離皆能比誤差小
15. 收斂數列必為柯西數列
16. 科西數列必有界
18. 若一科西數列有一子數列收斂到 x ，則此科西數列亦收斂到 x
19. B-W性質：一個有界實數列必存在收歛子數列
20. 由以上三點可知，一個科西實數列必收歛


CH1.5

1. cluster point 聚點：在聚點旁任取一開區間，數列中有無限多項落在此區間
2. x 是聚點 <=> 無論在數列多後端，皆能找到數列中元素使其與 x
3. x 是聚點 <=> 存在一子數列收歛到 x
( * 尾巴項的去處：1. 發散 2. 聚點 )


4. 一數列收歛到 x <=> 所有子數列都會收歛到 x
5. 一數列收歛到 x <=> 此數列有界，而且 x 是唯一的聚點
6. 一數列收歛到 x <=> 所有子數列都存在一子子數列收歛到 x


7. limsup：若一數列有上界，limsup 為其最大的聚點，若無聚點則為負無限大
8. 若一數列無上界，設 limsup 為無限大
9. liminf <= limsup
10. limsup 小於等於數列的任意上界
11. liminf = limsup = x <=> 此數列收歛至 x


CH1.6

1. Rn 向量空間的長度、距離、內積
7. 向量與自己內積 = 自己長度的平方
2. 科西不等式：兩向量內積之絕對值 <= 兩向量長度相乘
3. 兩向量線性相依 <=> 科西不等式之等號成立
4. 若兩向量內積為零，稱此兩向量垂直
5. 若從兩子空間各取一向量內積恆為零，稱此兩子空間垂直
6. 若兩垂直子空間織成 Rn ，稱此兩子空間垂直互補(orthogonal complements)


CH1.7

1. 距離空間：一個定義有距離函數的集合
2. 距離函數 d：由一組元素映射至非負實數的二變數函數，兩變數順序可交換
3. 兩點距離為零 <=> 兩點為同一點
4. 三角不等式：任兩點距離 <= 此兩點與第三點距離之和


5. normed 空間：一個定義有長度函數的向量空間
6. 長度函數 ||  ||：由向量映射至非負實數的單變數函數
7. 一向量長度為 0 <=> 零向量
8. 一向量係數積後之長度 == 該向量長度乘以該係數絕對值
9. 兩向量相加後的長度 <= 兩向量長度相加
10. 長度空間必可定義出距離空間：定義距離函數為兩向量相減的長度


11. 內積空間：一個定義有內積函數的向量空間
12. 內積函數：由一組向量映射至實數的二變數函數
13. 一向量與自己的內積非負
14. 若一向量與自己內積為零 <=> 此向量為零向量
15. 兩向量內積，可將一向量之係數提出
16. 兩向量內積，可將一向量分解成兩向量，分別與另一向量內積再相加
17. 內積之兩向量順序可交換取共軛
18. 科西不等式：兩向量內積的絕對值 <= 兩向量各與自己內積開根號後相乘
19. 一內積空間必可定義出長度函數：一向量與自己內積後開根號
20. 內積空間中具有平行四邊形定理

CH. 2.1

1. metric space (M,d)
2. e-disc D(x,e)
3. A open：each x in A，D(x,e) in A, too
4. close：with open complement
5. empty, M are both open and closed
6. 有限 open set 交集為 open
7. 任意 open set 聯集為 open
10. 有限 closed set 聯集為 closed
11. 任意 closed set 交集為 closed

8. interior point，int(A)
9. int(A) = A 中所有 open 子集的聯集 = A 的最大 open subset
13. 若 A is open ，則 int(A) = A
12. accumulation point of A：在此點周圍取任意開集合，會包到其他 A 中元素
14. A 是閉集合 <=> A 包含它所有的 acc. pts.
                           <=> A 中收斂數列，皆收斂到 A 裡面
15. 若 A 沒有 acc. pt. 則 A 是閉集合
16. closure of A A' 為所有含 A 閉集合之交集
17. A' 為包含 A 的最小閉集合
19. A' = A 聯集所有 A 的 acc. pts.
18. A 是閉集合 <=> A = A'
20. x 屬於 A' <=> 無論在 x 周圍取多小的開集合都會包到 A 中元素
                     <=> x 與 A 中元素之距離的最大下界為 0
                     <=> 存在一個 A 中的數列收斂至 x
21. 集合 A 的邊界 bd(A) ： A' 與 (M-A)'之交集  ( A 包含於 M )
22. bd(A) 為閉集合
23. 若 x 屬於 bd(A)，則在 x 周圍取一開區間，必包到 A 裡的點與 A 外的點

1. 距離空間、長度空間的數列與收歛
2. 距離空間、長度空間的有界
3. 距離空間、長度空間的科西數列
4. 收斂必柯西、科西必有界
5. 科西且有收斂子列必收斂
6. Rn 中的數列收斂 <=> 每一個維度皆收斂
7. 在 Rn 中：柯西 <=> 收斂
8. A 為 complete： A 中科西數列必收斂，並收斂至集合裡面
9. complete 集合之子集： closed <=> complete

1. 長度空間的級數收斂：部分和之數列收斂
2. Cauchy criterion：complete 集合中的級數收斂 <=> 數列尾端連續項加總之長度要多小有多小 
3. 若一數列級數收斂，數列收斂至零
4. 數列級數絕對收斂：數列取長度後之級數收斂
5. complete 長度空間中，絕對收斂必收斂
6. 實數級數收斂判斷法：
   等比級數、comparison test、ratio、root、integral、p-series
7. limit comparison test
8. Leibiniz's law：一正項遞減數列若收斂至零，若改為正負相交，其級數會收斂
9. Cauchy test
10. 非負項級數收斂 <=> 部分和為有界數列

1. A is sequentially compact：A 中任意數列都有收斂子列，且收斂至 A 中
2. seq. cpt. 集合必為有界閉集合
3. cover of A：一群聯集後能包含住 A 的集合
4. A is compact：A 的任意 open cover 皆有 finite subcover
5. cpt. 集合必為有界閉集合
6. cpt. 集之閉子集亦 cpt.
7. totally bounded => bounded
8. cpt. => totally bdd.
9. seq. cpt => totally bdd.
10. B-W thm：compact <=> sequentially compact
11. compact <=> totally bounded & complete
12. H-B thm： 在 Rn 中，compact 集合等價於有界閉集合
13. 在 Rn 中，有界數列必有收斂子列
14. nested set prop：若有一列非空緊緻集合，其中任意前者皆包含後者，則這些集合之交集非空
15. 若有一列擁有緊緻補集之集合，其中後者會包含前者，且每一項皆不等於宇集，則這些集合之聯集不等於宇集