【線性代數】Matrix：矩陣

• Matrix：   ( a11, a12, ...  , a1n  )
                    ( a21, a22, ...  , a2n  )
                    ( a31, a32, ...  , a3n  )
•                   (  ...  ,  ...  , ...   ,    ...  )
•                   ( am1, am2, ...  , amn  )              
  
  
  以上是一個 mxn 的矩陣向量空間，記做 Mmxn(F)，矩陣中的 aij 稱為矩陣的【項】，為 F 中的元素。以下為一些矩陣的性質與專有名詞：
  ####
  向量加法：將對應位置的項相加
  係數積：將係數乘入矩陣中各個項
  
  表示一個矩陣：使用大寫英文字母，如：A、B
  表示矩陣中一個項：使用該矩陣的符號加下標，如：Aij
  
  row：第一個下標相同的項，即同一橫條的項，組成一個 row
  column： 第二個下標相同的項，即同一直條的項，組成一個 column
  diagonal entries：對角線項，兩個下標皆相同的項
  
  trace：矩陣對角線項的和，記為tr(M)
  
  零矩陣：矩陣中所有的項皆為零
  方陣：長度寬度一樣的矩陣， m = n
  對角線矩陣：對角線項以外的項皆為零的方陣
  
  
  關於下標：
  
  可以想像矩陣是一棟地底大樓，第一個編號是樓層的深度，第二個編號則是房間號碼，我們得先搭電梯到對的樓層，才能找到對的房間。 

• Transpose：轉置矩陣
  
  
  轉置矩陣即將原本矩陣的 row 與 column 互換，因此若原本是 mxn 矩陣，轉置後會變成 nxm 矩陣，我們將 A 的轉置矩陣記為 A^t ，轉置矩陣的數學式表示如下
  
  
  (A^t)_ij = A_ji

• Symmetric matrix：對稱矩陣
  
  
  若一個矩陣與他的轉置矩陣相等，即 A =  A^t，也就是說 A_ij = A_ji，我們就稱他為對稱矩陣，對稱矩陣必定是方陣，且對稱與否與對角線項無關，因此對角線矩陣必定為對稱矩陣。
  
  
  所有 nxn 的對稱矩陣，包含於所有 mxn 方陣這個向量空間之中，又因為零矩陣為對稱矩陣，且對稱矩陣的加法與係數積皆具有封閉性，因此這些對稱矩陣形成一個子空間。