【線性代數】對角化 (一)
- 對角化問題
對於作用於有限維向量空間 V 上的線性變換 T ，我們想問：
既然我們可以透過改變基底，來改變線性變換矩陣，那麼，有沒有辦法為找到一組基底 b ，使得 [T]b 成為一個對角線矩陣呢？若是可以，又要如何找到 b 呢？
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- Def：可對角化(diagonalizable)
若一個作用於有限維向量空間 V 的線性變換 T ，可以找到一組 V 的 ordered basis b，使得 [T]b 為一個對角線矩陣，則說 T 為可對角化。若是一個方陣 A 所對應的線性變換 LA 可對角化，則說 A 為可對角化。
我們可以發現，若將向量對基底 b 分解，再經過 [T]b 這個線性變換，得到的結果仍然是一個由 b 所表達的向量，但是 [T]b 現在是一個對角線矩陣！也就是說，若該向量為該基底中的向量 vi，其線性變換時，只會乘上 [T]b 中的第 i 行第 i 列的項 ki，結果是自己的倍數。即使我們以別組基底表示這個線性變換與向量，b 中的向量仍然具有線性變換後為自己倍數的性質，這是與 T 的表示法無關的，總而言之，b 是一組線性變換後，方向不會改變的向量！
換句話說，若 T 可藉由 b 對角化，且b = {v1, v2, ... ,vn}，則：[T ]b vi = kivi
T(vi) = kivi
反過來看，若上述兩式子成立，找得到這麼一組向量當基底，T也理所當然可對角化。
總結來說，若找得到這樣的一組向量作為基底，就是一個可對角化的線性變換；而可對角化的線性變換也必定具有這樣一組基底。
- Def：特徵值與特徵向量
對於線性變換 T ，向量空間 V ，若 v 屬於 V ，且T(v) = kv ( k 為一常數)
則稱 v 為 eigenvector(特徵向量)、k 為 v 的 eigenvalue(特徵值)。
對應於對角化的討論，我們發現，特徵向量便是那些不被線性變換改變方向的向量，而特徵值則是該向量伸縮的倍數，同時也是對角線矩陣上的數，因此我們可以發現，每一個特徵向量都將會對應到一個特徵值，然而一個特徵值可能對應到一組或數組互為倍數關係的向量。
舉例：
若 C(R) 是由 R 到 R 的可無限次微分的函數所成之集合 (例如：多項式、三角函數...)，顯然 C(R) 是一個向量空間，於是我們定義一個由 C(R) 對應到自己的線性變換 T 為 T(f) = f'。
那麼這個線性變換是否可對角化呢？讓我們先找尋他的特徵向量，特徵向量是經過線性變換後只有長度伸縮而沒有方向變化的向量，而在這個例子中，我們要找的就是微分過後變成自己乘上一個常數的可微函數，即：f ' = kf
這是一個微分方程，其解為 f(x) = cekx，其中 c 與 k 為常數。透過改變 c 與 k ，我們可以找到無限多個像這樣的指數函數，也就是說 T 具有無限多的特徵向量與特徵值，而當 k 等於零時，會是一個常數函數，也是一個特徵向量。
我們可以發現一個關聯， C(R) 是一個無線維的向量空間，而 T 具有無限多(線性獨立)的特徵向量。
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