【線性代數】矩陣極限與馬可夫鏈

• Def：複數的極限
  
  
  若複數數列 z_m =  r_m +  i * s_m ，則 z_m 的極限：
  
  
   lim_m->無限 (z_m) =  lim_m->無限 (r_m +  i) * lim_m->無限 (s_m)。

• Def：矩陣的極限
  
  
  若有一 n * p 矩陣陣列 A
  _m 與 n * p 矩陣 L ，若是矩陣 A_m
  
  

  中每一個項的極限皆等於 L 中對應位置的項

  ，則我們說陣列 A
  _m 收斂至 L ，
  lim_m->無限 A_m = L。

• Thm
  
  
  
  A_m 乘上一個矩陣後取極限，會等於取極限後再乘上該矩陣。

• Thm
  
  
  若 A 為 n * n 矩陣，且 A_m =  A^m， A_m的極限等於 L ，則對於任意 n * n 可逆矩陣 Q ：
  
  

  lim_m->無限 (QAQ^-1)^m = QLQ^-1。

• Thm
  
  
  若 A 是一個複數項的方陣，則以下兩個條件為 A
  
  

  ^m 之極限存在的充分必要條件 ：

  
  
  
  1. A 的每一個特徵值等於 1 或絕對值小於一。
  2. 若 1 是 A 的特徵值，則 1 的 multiplicity 等於其特徵空間的維度。
  
  
  在條件一中，等於一或是絕對值小於一的複數，正是複數平面上不含邊界的單位圓與 1 的聯集，我們暫且稱這個集合為 S ，而 S 正好是所有無限次方會收斂的複數所成之集合。
  
  若是 A 為一個可對角化矩陣，則第二個條件自動成立，因此有下一個定理。

• Thm
  
  
  若 A 是一個複數項的方陣，且以下兩條件皆成立：
  
  1. A 的每一個特徵值皆屬於 S 。
  2. A 可對角化。
  
  則 A 的無限次方之極限存在。

• Def：轉移矩陣(transition matrix)
  
  
  若一個方陣具有非負的項，且每一個 column 的總和皆為 1 ，則我們稱這種向量為轉移矩陣。
  
  轉移矩陣通常用在一群固定數量而分成數種類別的物體，而每經過一段時間這些物體就會改變他們所在的類別，例如城裡城外的人經過一段時間就會一定比例的人搬家，而轉移矩陣正可以描述這樣的線性變換，其中轉移矩陣第 k 行 (column) 的向量就代表經過線性變換後，由第 k 種類別轉移至其他類別的比例分布，因為是比例分布，因此總合為一，且不能為負數。
  
  
  Thm：
  
  
  1 必為轉移矩陣的特徵值。
  
  根據轉移矩陣 A 的性質，我們可以發現 (A - I) 的每一個 column 之和都是零，也就是說，若將所有的 row 加到最後一個 row ，會產生一個全為零的 row ，那麼 det(A - I) = 0，因此 1 必為特徵值。
  
  而對應到特徵值一的特徵向量也具有一個重要的性質：這個向量經過轉移矩陣後不會改變。也就是說：對應於 1 的特徵向量，對於此轉移矩陣是一個穩定的狀態。
  
  
  轉移矩陣的特徵值絕對值皆小於等於一。
  
  從初始狀態 u0 經過轉移矩陣 t 次的結果可以寫成 SK^tS^-1u0 的樣子，其中 K 為相似於轉移矩陣的對角矩陣，從式子中可發現，若所有的特徵值只有一個 1 ，而其餘絕對值皆小於 1，當 t 愈大，結果會趨向於特徵值為 1 那一部分的值，而若是有大於 1 的特徵值，則當 t 愈大，結果會越來愈多，然而在我們的模型中總數量是固定的，因此不可能(不嚴謹的證明)。

• Thm
  
  
  若矩陣 A 可對角化，則 ：
  u_t = A^tu₀ = SK^tS^-1u₀ = c1*k1^tx1 +...+cn*kn^txn。
  
  若 A 的所有特徵值之絕對值皆小於一，則 u_t 為 stable 收斂到零；若特徵值之絕對值皆小於等於一，則 u_t 為 neutrally stable 且 u_t 有界；若有一特徵值的絕對值大於一，則 u_t 為 unstable 且 u_t發散

• Thm
  
  
  若 M 為 n * n 的非負實數項矩陣，u 屬於 Rn，且 u 每一個分量皆為 1 ，則：M^tu = u ，若且惟若 M 為一轉移矩陣。