【 代數 】homomorphism：同態

homomorphisms：同態   =>  同構(isomorphism)的弱化

1. 當我們說兩個group同構或同態時，我們所指的是：
   
   在兩個grooup之間的某個滿足某些條件的函數關係。
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2. 而同態所指的是，兩個群(group) < S ,* >、< S' ,*'> 之間存在這樣的映射：
   
     f (x * y) = f (x) *' f (y) , 對所有 x, y 屬於 S 
   
   ( 對定義域裡所有的元素而言，不論先做運算再做映射，
   還是先做映射在做運算，都會得到相同的結果，殊途同歸。 )
   
   而同構的定義即是將上述定義中的的函數加上一對一及映成兩個條件。
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3. 可以發現在等式的兩邊，所做的運算屬於不同的群 (* ,*')，因此我們可以利用這個等式
   來檢驗兩個群中運算符號的性質。
   
   同態保證了：
   
   元素經過運算所造成的改變，在函數的另一頭一定找的到對應的改變。
   元素只對該同態映射所揀選的性質，在另一頭作出反應
   
   ==>同態映射只挑選了某些性質進行對應
   例如：trivial homomorphism
   
      f (x) = e' , 對任何 x 屬於 S 。這個函數中沒有挑選任何性質，就像是函數戴上黑色的眼鏡，不接收顏色的資訊，如此一來，所有的調色在函數另一頭都是一片黑暗。
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4. 例子：
   加法整數群與< 0 1 2 3 ... n, + >  ( n+1=0 )
   同態映射：f (x) = 對 x 取 n+1 的餘數
   
   可以由高中數學的同餘關係證明，這是一個同態映射，
   ( 這個映射所挑選的性質是 n+1 的餘數，
   由此可見餘數與右邊那類的 group 有相同的性質，例如循環 )
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5. Thm：
   對每一個從G到G'的同態映射而言
   
   1. G裡的 identity 將會映射至 G' 裡的  identity
   
   2. 元素與反元素的關係到了函數另一頭仍然存在
   
   3. 定義域的一個 subgroup 經過映射後，也會是對應域的一個 subgroup
   
   4.  對應域的一個 subgroup 經過反映射後，也會是定義域的一個 subgroup
   
   
   綜合來說，經過同態映射後，單位元素、反元素、子群的性質會保留。
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6. kernel of f == Ker (f)：定義域中映射後會變成 identity 的元素，所成之集合。
   
   當這些元素與其他的元素做運算，在函數另外一頭相當於和 identity 做運算，
   因此會得到相同的結果，也就是說：
   
   每一個元素 a 都會有許多同伴，對應到函數對面的同一個元素，
   他們由 kernel 與 a 做運算所得 => Ha, aH  (  let H =  Ker (f)  )
   
   
   
   這麼一來，同態映射就像是一種壓縮，定義域中那些慘遭忽略的性質
   只能成為 kernel 中的亡魂，寄宿於被選中的元素們的前世之中...

• Corollary：
  
  一個同態映射的 ker (f) = { e } ，若且惟若該同態映射為一對一函數。
  
  因為此種情況下， a 的同伴群只剩下：aH = a{ e } =  a 。

• 證明同構映射 f：G -> G' 的方法：
  
  1.證明該函數為同態映射
  
  2.證明 ker (f) = { e }
  
  3.證明 f onto