【線性代數】Similar 矩陣

• Similar
  
  
  若 A 與 B 為 n*n 矩陣，且存在一個可逆矩陣 Q ，使得 B = Q^-1AQ，則 B is similar to A，記為 B ~ A。
  
  
  因此，若 S^-1AS = K ，則對角化矩陣 K 相似於線性變換矩陣 A，也就是說，若一個矩陣可對角化，則該矩陣與一對角化矩陣相似。
  其實仔細一看， similar 矩陣就是變換基底的同一個線性變換。以對角矩陣 S^-1AS = K 來看，設 A 是以 a 為基底的的線性變換，而 S 是由特徵向量組成的矩陣，注意，這些向量是以 a 基底表示的。
  
  若我們在某個向量左邊乘上 S ，例如 S(1, 0, 0,..., 0)，我們會得到 (用 a 表示的) 第一個特徵向量，也就是說，S 可以將【用特徵向量為基底的向量】轉為【以 a 為基底的向量】，也就是說，S 將以其 column 為基底的向量翻譯為 A 可解讀的向量，而此向量經過 A 線性變換後，再用 S^-1 將他還原為以原本基底表示的向量，注意，這是因為 S^-1Sx = x。
  ^{也就是說，若 B = Q-1AQ ，則 B 與 A 是同樣的線性變換，只是 B 的輸入向量必須以 Q 的 column 為基底表示。}
  
  similar 具有以下性質：
  
  1. 反身性：A ~ A。
  2. 對稱性：A ~ B 若且惟若 B ~ A。
  3. 遞移性：若 A ~ B 且 B ~ C，則 A ~ C。
  
  而擁有這三項特質便稱之具有全等關係。
  
  
  Thm：
  
  
  事實上，所有相似的矩陣皆具有相同的特徵值與 mutiplicities。