【線性代數】對角化 (二)
- Def：特徵多項式
1. 若 A 為 n*n 的方陣，則係數 k 為其特徵值，若且惟若 det(A-kI) = 0。我們將 f(t) = det(A - tI) 稱為 A 的特徵多項式。
2. 若 T 為一個 n 維線性變換，b 為一組基底，令 A = [T]b，則 f(t) = det(A - tI) 為特徵多項式。
特徵多項式的解並不會因為選取不同基底而改變，也就是說，若選取特徵向量為基底，則特徵多項式會是：連乘的 (ki - t)
其中 ki 為特徵值，很明顯的：
1. 此多項式的解會是 ki。
2. 特徵多項式的常數項會是：特徵值 ki 的乘積。
3. 特徵多項式的 n - 1 次方項會是：特徵值 ki 的和。
而無論矩陣 A 是否對角化，以上特質皆會成立。
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- Thm
a. 特徵多項式的領導係數為 (-1)n。
b. A 最多有 n 個不同的特徵值。
- Thm
若 k 為線性變換 T 的一個特徵值，則 v 為其對應的特徵向量 若且惟若 (T - kI) v = 0，且 v 不等於零向量。
- Thm
1. 若在一個線性變換中，每一個相異的特徵值各取一對應的特徵向量，這些向量會形成一個線性獨立的集合。
2. 若 T 為一個作用於 n 維向量空間之線性變換，且 T 有 n 個相異特徵值，則 T 可對角化。
- Thm
1. 若一個以 F 為係數之多項式 f(t) ，可以表示成：f(t) = c(t - a1)(t - a2)...(t - an) (c 及 ai 為 F 之元素。)
則稱 f(t) 可在 F 下分解 (split over F)。
2. 任意可對角化的線性變換，其特徵多項式必可分解。
- Def：
multiplicity (代數重根數)
若 k 為一個特徵值，若 (t - k)c 為特徵多項式之因式，則我們稱能滿足這個條件之最大整數 c 為 multiplicity of k，又稱為代數重根數。
multiplicity 並不代表該特徵值 k 所對應的特徵向量的數量，因為特徵向量有可能不存在。
- Def：特徵空間 (eigenspace)
若 T 為一個作用於向量空間 V 的線性變換，而 k 為 T 的一個特徵值，則我們定義所有經過線性變換 T 後變為 k 倍之向量集合：Ek = { v 屬於 V ： T(v) = kv } = N(T - kI)
Ek 為對應於 k 的特徵空間。
特徵空間就是一個特徵值所對應到的所有特徵向量所成的集合，而此集合會形成一個子向量空間。注意，每一個特徵值能對應到的特徵向量有無限多個，因為一個特徵向量的常數倍也必為特徵向量，數個線性獨立的特徵向量的線性組合也有無限多個。
- Thm
若 T 為一個有限維向量空間上的線性變換，而 k 是一個 multiplicity 為 m 的特徵值，則 k 的特徵空間之維度會介於一與 m 之間：1 <= dim(Ek) <= m。
特徵空間之維度又稱為幾何重根數。
- Thm
T 為一個有限維向量空間 V 上的線性變換，若 Si 為特徵值 ki 所對應特徵空間 Ei 中的一個線性獨立集合，則所有 Si 之聯集仍然會是一個線性獨立的集合 (V 之子集合)。
- Thm
T 為一個有限維向量空間 V 上的線性變換，並且具有可分解的特徵多項式， 若 ki 為相異的特徵值，則：
1. T 可對角化，若且惟若每一個特徵值的 multiplicity 與其特徵空間的維度皆相同。
2. 若 T 可對角化，而 bi 為特徵空間 Ei 的基底，則聯集所有 bi 後，我們就可得到由特徵向量所構成之，V 的基底。
也就是說，我們夢寐以求的，由特徵向量所成的基底，使線性變換可對角化的基底，可由特徵空間中尋得。
- 對角化的實作方法對於一個線性變換 T ，首先我們只要先隨便找一組基底 a ，令 A = [T]a ，接下來找到 A 的特徵多項式，求出特徵多項式的解，利用找到的特徵值找出對應的特徵空間，檢查 multiplicity 是否與特徵空間之維度相同，若有不同則不可對角化，找到所有特徵空間後，再找出他們的基底，將之聯集後，就是特徵向量組成之基底 b，而我們將每一個特徵向量以 column vector 的形式組成方陣 Q ，則利用 similar 之理論，Q-1AQ = D，而 D 便是我們的對角化矩陣[T]b。
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