【線性代數】課堂筆記 (一)

• 前言：
  
  
  若 V 是一個 n 維的向量空間，W 是一個 m 維的向量空間，則我們可以在這兩個空間中建立一個由 V 至 W 的線性變換 T ，而我們又可以使用矩陣來表示線性變換，而線性代數研究的便是如何處理這些矩陣，然而矩陣的乘法頗為複雜，因此我們的目標是：將矩陣簡化為對角線矩陣。

• 以基底的線性組合來表示向量
  
  
  我們可以為 V 與 W 找一份基底，分別為 a = { v1, v2, ... ,vn } ，及
  b = {w1, w2, ... ,wm}，則 V 中的任意向量便可以表示為 a 的線性組合，例如 v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn，我們又可以將係數抽離出來，成為一個向量，c = (c1, c2, ... ,cn)，如此一來，我們再將 c 立起來，變成一個 column vector ，記為 [v]_a = [c]，此即 v 對應於基底 a 的 column vector。

####

• 線性變換矩陣
  
  
  基底是一個向量空間的基礎，因此我們將基底 a 中的元素 vj 經過線性變換，變成了 T(vj) ，為 W 中的元素，既然是 W 中的向量，那就可以用 W 的基底 b 來表示，我們將每一個 T(vj) 對於 b 的 column vector 排排站好，變成一個 m x n 的矩陣，也就是 ( [T(v1)] _b  ,   [T(v2)] _b , ... ,  [T(vn)] _b  ) ，我們稱這個矩陣為 A 。
  
  這樣一來， A 這個矩陣，就是 a 這組基底裡每一個向量經過線性變換後，再由基底 b 將每一個 T(vj) 表示為 column vector 的結果。
  
  如此一來，若是將 A 乘上 v 對應於基底 a 的 column vector ，即 A[v]_a，則剛好每一個係數 ci 都會剛好乘上其對應向量 vi 的線性變換 T(vi)，而其結果會是由 b 所表達的 T(v)，即：
  
  
   A[ v ]_a   =   [ T(v) ]_b
  

  
  這顯然是個非常好用的矩陣，如此一來，我們只要知道一個向量對 a 的分解，則透過這個矩陣，我們就可以知道他經過線性變換後對 b 的分解。 A = [T]_a^b。

• 推導
  
  
  在對角化矩陣的討論中，我們考慮映射至同一個向量空間 V 的線性變換，帶入上述的討論，也就是考慮一個 nxn 的矩陣 A ，若 v 屬於 Rⁿ 且不為零，則對於基底 a、係數K，若經過線性變化後，v 為自己的 K 倍
  
  
   A [v]_a = K [v]_a 
  
  則稱 v 為特徵向量(eigenvector)、K為特徵值(eigenvalue)。
  
  由上式又可推得：(A - KI) [v]_a  = 0。也就是說，若設 [v]_a 為未知數，則此式有非零解，也就是說(?)：
  
  
  det (A - KI) = 0
  
  則 (A - Ki I) 的 kernal =  (A - Ki I) [v]_a  = 0 的解集合 ，為一個 V 的子空間，稱為對應於特徵值 Ki 的特徵空間(eigenspace)。(為什麼是 Ki ?)

• 對角化
  
  
  若 A 有 n 個線性獨立的特徵向量：{x1, x2, ... ,xn}，則
  
  
  S = [ x1, x2, ... ,xn ] _nxn
  
  AS = [ Ax1, Ax2, ... ,Axn ]
    = [ x1, x2, ... ,xn ] K
   = SK
  

  
  S 是特徵向量組成的矩陣，AS 則是這些特徵向量線性變換後所成的矩陣，然而特徵向量經過線性變換為自己的 k 倍，因此我們可以把 AS 寫為 SK，K 為特徵值所成之對角化矩陣，如此一來，若等號兩邊同時左乘 S 之反矩陣 S^-1AS = K，就得到我們所要的對角化矩陣 K。
  
  我們發現，不論如何選擇基底，A 始終會將特徵向量乘上 k 倍，也就是說，不論 A 及特徵向量矩陣 S 所根據的基底為何，只要兩矩陣參考的基底一致，就能透過這個式子合成出對角化矩陣 K。

• 可參考此網站