【線性代數】Vector spaces：向量空間

• 向量空間：
  
  
  向量空間由兩個集合：V、F，兩種運算方式：【向量加法】、【係數積】構成。
  
  
   V：該空間中所有向量的集合
   F：可作用於向量上之係數所形成之 Field
  
   向量加法：由 V 中兩個元素對應至 V 中另一元素的運算
   係數積：由 F 中一元素與 V 中一元素對應至 V 中一元素之運算
  
  
  向量空間中的向量加法與係數積，與一般算術之加法與乘法不一樣，向量加法牽涉到方向的相加 ( 牽涉到順序 )，而係數積則是一個外在的係數乘以向量，並非兩個向量相乘，因此在向量空間中需要另外一個由係數構成的集合 F。

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• Def： vector space ( 向量空間 )
  
  
  一個定義在Field  F 、向量加法及係數積之上的向量空間 V 具有以下性質：
  ( 其中 a, b, c 屬於 F ， x, y, z 屬於 V )
  
  
  1. 加法封閉性：向量 x + y 屬於V
  2. 加法單位元素：V 裡頭存在 0 向量，使得 x + 0 = x
  3. 加法反元素：對任意向量 x 都可以找到一個 y ，使得 x + y = 0
  4. 加法交換律：x + y = x + y
  5. 加法結合律：x + (y + z) = (x + y) + z
  
  6. 係數積封閉性：向量 ax 屬於V
  7. 係數積單位元素：對於任意 x， 1x = x
  8. 係數積結合律：(ab)x = a(bx)
  9. 係數積分配律：a(x + y) = ax + ay
  10.係數運算的分配律：(a + b) x = ax +bx
  
  
  
  為什麼沒有係數積反元素？
  
  
  加法反元素之結構為，一個向量，加上反元素(向量)之後，變成加法單位元素 0 向量。對應至係數積，我們期待係數積反元素之結構為：一個係數，與係數積反元素做運算後，變成係數積單位元素 1。
  
  然而這並沒有意義，因為這樣的結構已經包含在 F 這個 Field 之中了，也就是說，定義向量空間時，其實已同時為係數的集合內定了一個結構，因此係數本身即具有加法與乘法，及其他 Field 之性質，然而這與整個向量空間的關係不大，我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好，因此我們有 8. 10. 項，確保係數間的運算，在係數積的運算中能保持一致。

• n-tuple：(a1, a2, ... ,an)
  
  
  這是一個向量空間，其中 a1, a2, ... ,an 為 F 中的元素，稱為分量。
  
  加法： (a1, a2, ... ,an)  +  (b1, b2, ... ,bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ... ,an + bn)
  係數積：k (a1, a2, ... ,an) = (ka1, ka2, ... ,kan)
  
  
  這種由 n 個 F 中的元素排列而成的向量空間，通常使用次方的符號表示，以上面作為例子，即 F^n 。依此類推，我們有 R^3、C^5 ... 這些向量空間。

• Matrix： ( a11, a12, ...  , a1n  )
                   ( a21, a22, ...  , a2n   )
                   ( a31, a32, ...  , a3n   )
                   (  ... ,   ...  , ...   ,  ...     )
                   (am1, am2, ... , amn )
  
  
  與 n-tuple 相同， Matrix 也是一個向量空間，其中 aij 為 F 中的元素，加法為對應位置的元素相加，係數積為將係數乘入所有位置。
  
  我們稱 a11, a22 等元素為 diagonal entries (對角線項)。
  稱 ai1, ai2 等元素組成 ith row。
  稱 a1j, a2j 等元素組成 jth column。
  可以將這些 rows and columns 視為 n-tuple。
  若一個 matrix 中所有的元素都是 0， 則稱之為 zero matrix 。
  
  我們通常使用【大寫字母】來表示矩陣，而使用【大寫字母加下標】來表示矩陣中的項。
  
  
  可以想像矩陣 (matrix) 是一棟地底大樓，第一個編號是樓層的深度，第二個編號則是房間號碼。

• 我們可以發現，在上面兩個向量空間的例子中，其運算都是直接使用 F 中已經定義的運算，只是變成同時對【一組】數字做運算，並且在運算的過程中，位於不同位置的元素不會互相影響。因此在上面這兩個例子中，做向量加法與係數積時，事實上只是將【一組】 F 中的元素，互不干擾得進行 Field F 中的運算，而我們可以發現向量空間的定義與 Field 的定義有許多相似之處，這麼一來，這兩個結構可以形成向量空間也就不足為奇了。
  
  依此類推，其他具有這樣特質的結構也有可能是個向量空間，像是多項式。

• Thm：向量加法的消去律
  
  
  若 x, y, z 為向量空間 V 中的向量，且 x + z =  y + z ，則 x = y。
  
  由反元素即結合律即可證明。
  
  
  corollary 1：零向量唯一。
  corollary 2：加法反元素唯一。
  
  以上兩引理皆可由消去律證得。

• Thm
  
  
  在任意向量空間 V 中，若 x 為其元素，a 屬於 F，則以下性質會成立：
  
  (a) 0x = 0                            (使用 0 表示零向量)
  (b) (-a)x = -(ax) = a(-x)
  (c) a0 = 0
  
  
  pf：
  
  (a) 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0，加上消去律即可。
  (b)  (-a)x + ax = (a - a)x = 0，且 a(-x) + ax = a(x - x) = 0，證明此兩項皆為 ax 的反元素。
  (c) a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0，加上消去律即可