【代數】Group act on a set

• 群和集合之運算：
  
  group通常在自己的元素之間，做自己定義中的運算。
  但現在我們要將group中的元素和其他【集合】中的元素做運算，
  而運算的結果落在該【集合】之中。
  
  
  

  map *：G x X  ==> X 

  
  
  

  當滿足以下性質： ( e 是 group 中的單位元素，g1, g2 屬於 G，x 屬於 X )
  
  
  

  ex = x 

  ( g1g2 ) x =  g1 ( g2 x )

  
  
  我們說 X 是一個 G-set
  
  
  
  
  這樣看起來，這個運算可以看成是 X 集合的重新排列，每一個 G 中的元素都對應到一組重排，而我們並沒有規定每個 G 中的元素應該對應到不同的排列方式，也就是說我們甚至可以讓每個 g 屬於 G 都和 e 對應到一樣的排列：保持原樣。
  
  
  然而，X 的排列方式不一定比 G 的元素多，假設 Sx 代表 X 所有排列方式的集合，當他的元素比 G 少，那麼在分配排列給 G 中的元素時，就會有好幾個 g 分到同樣的排列，合理懷疑這樣的分組，會形成factor groups，而 G 到 Sx 的映射是一個homomorphism。
  
  

  ####

  
  
  證明 f：G 到 Sx 是同態映射，我們必須證明先運算再映射會等於先映射再運算：
  
  
  

  f (g1) f(g2) = f (g1g2)

  
  
  然而在這裡Sx只是我們的中間產物，我們必須透過上面的定義來檢驗此等式
  
  
  

  ( f (g1) f(g2) ) x = f (g1) ( f(g2) x )  

  
  
  

  = 先經過 f (g2) 的排列之後，再做 f (g1) 的排列

  
  

  = 先經過 g2 的運算之後，再做 g1 的運算

  
  

  = g1 ( g2 x ) 

  
  

  = (g1 g2) x

  
  

  = f (g1g2) x  (得證)

  
  
  
  
  經過這個證明，我發現對於 x 而言，g 與 f (g)，根本就是一樣的東西，代表的都是重新排列，唯一的差別在於，g 是雜亂未經整理的，不同的 g 可以代表同樣的排列，而 f (g) 是將這些雜亂的東西過濾，留下的純粹的排列，也就是說 f (G) 是這個運算中不重複的所有的可能。
  
  
  

  
  
  

• 若是對於任意 x1, x2 屬於 X ，都存在 g 屬於 G ，使得 gx1 = x2 ，那麼 G is transitive 。

• 在這種情況下， G 窮盡了所有 X 的排列 ，也就是說 G 到 Sx 是 onto 的。

• 每一個 group G 都是他自己的 G-set ，只需要把 g 的排列定義為，其他元素和 g 運算後的結果即可，同理， 若 H 是 G 的 subgroup，也可以把 G 看成 H-set。
• 原封不動：
  
  我們將那些會讓 x 原封不動的 g 收集起來，他們會形成一個  normal subgroup，稱他N，而 N 的 cosets 形成集合 G / N，而 ( gN )x = gx，那麼 X 就不只是 G-set，也是 G / N-set。

• 若是 N 只有一個元素 { e }，就稱 G act faithfully on X 

• 看待原封不動有兩種方式：和 g 運算而原封不動的 x；不能使 x 改變的 g

• Thm：
  
  對每一個屬於 X 的 x ，G 中會使 x 原封不動的集合 G_x 都會是 G 的 subgroup
  每一個 x 都會有一個讓他原封不動的subgroup： G_x 

• Def：  G_x is the isotropy subgroup of x

• Thm：
  
  我們將可以透過 G 的作用而相連的 x 們放在一起：
  
  
  x1 ~ x2   if and only if    存在 g 屬於 G 使得   gx1 = x2
  

  
  我們將分好的類稱為 orbit, 寫為Gx       ( x 為其中的元素 )
  
  其實 Gx 就是 G 裡的元素和 x 做運算所成的集合

• Thm：
  
  和 x 分為同類 ( Gx ) 的元素，其數量與讓 x 原封不動的 G_x 的 coset 一樣多
  
  
  | Gx | = ( G：G_x )  (代表由G_x衍生出的coset的數量)
  
  

  這個定理相當直覺，和 x 同類的元素，必定有一個元素 g 將他們連結，而每一個連結正好對應到一組 G_x 的 coset，裏頭每一個元素都可以提供相同的連結。
  
  

  
  

  如果 G 的數量有限，那麼 Gx 的數量將會是他的因數

  
  

  
  

  這同樣相當直覺，Gx 的數量即是 G_x 的 coset 的數量，而每一個 coset 其中元素的數量是相等的，所有的

  
  

  
  

  coset加起來又等於G，那麼其數量自然為其因數。