【線性代數】subspaces：子向量空間



  • Def： subspaces 子向量空間



    若 W 為向量空間 V(F) 的子集合，且其運算方式與 V 相同，若 W 也是一個向量空間，則我們稱 W 為 V 的子空間。
    (ps. V(F) 表示V定義在 Field F上。)


    因此要證明 W 是一個子空間，就必須證明他是一個向量空間，但因為 W 已經是 V 的子集合，因此顯然有許多性質不需再被檢驗，例如交換律、結合律等對 V 中所有向量皆適用的性質。

    因此若已知【 W 為 V 的子集合】，且【運算的定義相同】，要證明 W 為 V 的子空間，只需檢驗以下性質即可：

    (a) 向量加法封閉性
    (b) 係數積封閉性
    (c) 加法單位元素：零向量 存在
    (d) 每一個向量的加法反元素存在
    ####
    其中 (c) 可以利用消去律證明該零向量與 V 中的零向量是同一個。

    且其中 (d) 其實是可以省略的，這是因為係數積封閉性的緣故。因為係數來自一個 Field ，而 Field 必定包含 1 這個係數 (乘法單位元素)，且同時包含 1 的反元素 -1，這麼一來，根據係數積封閉性，若 x 為 W 中的一個向量，則 -x 也必定會存在於 W 之中。




    問：既然如此，為什麼在向量空間的定義中不也省略反元素這一項？

    若是不在向量空間的定義中定義反元素，將會造成許多問題。雖然每個 x 可以經由係數積的封閉性造出 -x ，然而 x + (-x) = 0x 卻是未被定義的！回頭看看向量空間的定理，0x = 0 是由消去律所證出來的，然而消去律卻是由反元素性質所證明！也就是說，若是不去定義反元素，我們可能無法僅僅由其他定義證出消去律，而隨著消去律而來的許多有用性質也會跟著付之一炬。

    其實在向量空間的條件中定義反元素時，不僅是讓每一個向量都對應到一個反元素，也同時在每一個向量與零向量之間形成連結，在定義了反元素之後，零向量才有其用武之處，零向量與反元素其實是一體兩面啊！

    回過頭來看子空間的情形，可以發現上述的問題不會發生，因為子空間包含於向量空間之內，而在向量空間之中是可以使用消去律及其他定理的，因此 x + (-x) = 0x 不會陷入未定義的窘境。


  • Thm：

    在同一個向量空間中，任意子空間的交集都會是一個子空間。

    這個定理可以輕易獲得證明，若現在有兩個子空間 V 、W，兩子空間皆包含零向量，因此其交集也必包含零向量。子空間具有封閉性，則在交集中的向量對於 V 、 W 皆有封閉性，也就是說交集中的向量對於該交集也具有封閉性。


    問：那麼子空間的聯集呢？

    子空間的聯集包含零向量，也滿足係數積的封閉性，然而在向量加法的封閉性上卻會出問題，因為係數積一次只牽涉到一個向量，而向量加法卻牽涉到兩個，因此當分屬兩子空間中，又不屬於兩子空間交集的向量遇上了，我們將無法預測他們是否具有封閉性。

    不過，若兩子空間具有包含關係那就另當別論了，畢竟此時兩子空間的聯集，就是其中一個子空間。


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