【線性代數】不變子空間
- Def：invariant subspace
若 T 為作用於 V 的線性算子(本文的 V 皆假設為有限維向量空間)，W 為 V 的子空間，且 T(W) 包含於 W，則我們說 W 是 T 作用下的的不變子空間 (T-invariant subspace)。
不變子空間中的元素經過線性變換後，仍會留在原本的子空間中，特徵空間正具有這樣的性質，因為其中向量經過線性變換只會有倍數的改變，因此當然落在原本的特徵空間之中，不僅是特徵空間，由任意幾個特徵向量織成的空間也具有此性質，因為經過線性變換後，其中的向量仍會是這幾個特徵向量的線性組合。
其他不變子空間：零空間、Range、Null、V。
*特徵空間與不變子空間：
特徵空間的每個向量經過線性變換後會乘上同一個倍數，而不變子空間的向量經過線性變換後，僅保證結果會是其基底的線性組合。
Def：循環子空間 (cyclic subspace)
若 T 為一個作用於 V 的線性算子，若 x 為一個 V 中的非零向量，則我們將：
W = span({x, T(x), T2, ...})
這樣的子空間稱為 T 作用下包含 x 的循環子空間(T-cyclic subspace of V generated by x)。
我們可以發現，W 的每個基底向量的線性變換皆落在 W 中，因此循環子空間必定是一個不變子空間，而且是包含 x 的最小不變子空間。
- Thm：
若 T 是一個 V 上的線性算子，而 W 是 V 對於 T 的一個不變子空間，則 TW 的特徵多項式必為 T 的特徵多項式之因式。
- Thm：
若 T 是一個 V 上的線性算子，而 W 是 T 作用下包含 v 的循環子空間，v 屬於 V 且非零向量，若 W 的維度為 k，則：
(a) { v, T(v), T2(v), ... , Tk-1(v) } 是 W 的一組基底。
(b) 若 a0v + a1T(v) + ... + ak-1Tk-1(v) + Tk(v) = 0，則 TW 的特徵多項式為 f(t) = (-1)k( a0 + a1t + ... + ak-1tk-1 + tk )。
我們可以利用不斷對 v 做線性變換的方式得到一個最大的線性獨立集合，假設有 j 個元素，將這個集合做為基底，有趣的事情發生了，基底裡每一個向量的線性變換就是基底裡下一個向量，這樣一來，若 w 是這個基底的線性組合，則 T(w) 可以表示成 T(v) ,T2(v) 到 Tj(v) 的線性組合，而根據我們創造基底的方法， Tj(v) 將是基底的線性組合，也就是說 T(w) 會是該基底的線性組合，這麼一來，這組基底的線性組合經過 T 仍然是這組基底的線性組合，就證明了這組基底織成的空間是一個不變子空間！
若使用這組基底表示 Tw，則更有趣的事發生了，因為每一個基底向量的線性變換是下一個向量，矩陣裡的前 k-1 個 column 皆會是 (0, ... , 對角線項0, 1, ..., 0 )的形式，而最後一行則是 Tk(v) 使用該基底的表示法，因此特徵多項式如定理內容所示。
- Thm：Cayley-Hamilton
若 T 是一個 V 上的線性算子，而 f(t) 為 T 的特徵多項式，則 f(T) = T0 為零矩陣。
根據上一個定理的 (b)，若我們將 TW 的特徵多項式帶入 T ，此多項式會變成一個零線性算子，再將 v 經過這個線性算子，則會得到 0 的答案，而我們知道不變子空間的特徵多項式會是線性變換特徵多項式的因式，因此特徵多項式帶入 v 也必為零矩陣，而 v 是任意 V 中向量，因而證明 f(T) 為一零線性變換。
cor：
若 A 是一個 n*n 矩陣，且 f(t) 為 A 的特徵多項式，則 f(A) 為零矩陣。
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