【高等微積分】筆記二

連通與路徑連通

1. 一個由 [a,b] 映射到 metric space M 的函數 f ，如果 [a,b] 中所有的收斂序列 tk -> t，經過 f 也會收斂 f(tk) -> f(t)，則我們說 f 是一個連續函數。
2. 一個集合中，若任意兩點皆可找到一個落在集合中的連續函數相連，則稱此集合路徑連通( path connected )。
3. 若兩開集合 U、V 符合以下性質，則說他們將集合 A 分開：
   (1) U、V 聯集包含 A，(2) U、V 與 A 皆有交集，(3) U、V、A 交集為空。
4. 若一個集合不能被兩個開集合分開，則我們說此集合連通( connected )。
5. 任意區間 [a,b] 都是連通的。
6. 不可能存在兩個非空無交集的閉集合，包住一個閉區間 [a,b]。
7. 路徑連通必連通。
8. 若 S 是一個連通集合，且 T 被夾在 S 和 S 的 closure 之間，則 T 亦連通。
9. 一個連通集合通過連續函數作用仍然連通。
10. 實數的連通子集 <=> 一個區間。
11. 在 Rn 中的一個連通開集合必路徑連通。

函數的極限與連續

1. 極限：
   
   f 為由 A in (M,d) 映射至 (N,p) 的函數，若 x₀ 是 A 中的一個 acc. pt.，且對任何正誤差 e ，皆存在一個正數 de，使得只要 x 與 x₀ 之距離大於零且小於 de，f(x) 與極限值 b 的距離就會小於 e，則我們說，b 是當 x 逼近 x₀ 時的極限。
   
   (注意：1. 兩個空間使用的長度函數不一定相同。 2. 極限不需考慮 x = x₀ 那一點的函數值。3. 當 x₀ 不是 acc. pt. 時，無法逼近，因此極限沒有意義。)
2. 極限的唯一性。
3. 連續，下列任一種情況發生時，我們就說 f 在 x₀ 連續：
1. x₀ 不是一個 acc. pt.。
2. f 在 x₀ 的極限等於 f(x₀)。
4. 在極限的定義中考慮 x = x₀ ，若極限依然存在則該點連續，因為該點函數值必須落在極限點的所有誤差區間中，因此極限點理所當然就是 f(x₀)。
5. 函數 f 在集合 A 上連續，與以下各點皆等價：
1. 若 xk 為任意 A 中收斂到 x 的數列，則 f(xk) 收斂到 f(x)。
2. 任何對應域的開集合，被 f 拉回來後仍然是開集合。
3. 任何對應域的閉集合，被 f 拉回來後仍然是閉集合。
   ( 集合 A 的拉回：經過 f 作用後落在 A 的那些點。 )
6. 連續函數會將連通集送至連通集。
7. 連續函數會將路徑連通集送至路徑連通集。
8. 連續函數會將緊緻集送至緊緻集。
9. 連續函數的合成亦連續。
10. 聚點上極限的加減乘除。
11. 聚點上連續的加減乘除。
12. 極值定理：
    若 f 為由 M 映射至 R 的連續函數，且 K 為 M 中的緊緻子集，則 f 在 K 中有界，且可在 K 中找到兩數其映射為 f(K) 的最大及最小值。
13. 中間值定理：
    若 f 為由 M 映射至 R 的連續函數，且 K 為 M 中的連通子集，則若選取 K 中任兩點 x,y，則 f(x) ,f(y) 之任意中間值 c 皆可在 K 中找到對應的數，使其映射為 c。
14. 均勻連續：
    若 f 為由 M 映射至 N的函數，A 為 M 的子集，若對於任意正數 e，皆存在一個正數d，使得只要 A 中任兩點距離小於 d ，其取值之距離就會小於 e ，則我們稱 f 在 A 上均勻連續。 
15. 均勻連續：集合上任兩點只要保持一定距離，取值的誤差就會保持在一定距離。
16. 均勻連續必連續。
17. 均勻連續定理：若 f 在某集合上連續，則在其緊緻子集上會均勻連續。
18. 若 f：(a,b) 到 R 為一可微函數，且其導數有界，則 f 均勻連續。
19. 有界連續函數不見得均勻連續，均勻連續函數相乘不見得均勻連續。
20. 若 f ,g ：R 到 R 為有界均勻連續函數，則 fg 亦均勻連續。

函數的微分

1. 導數與可微：
   若 f 在 x0 附近有定義，且逼近 x0 的割線斜率極限存在，則稱 f 可微，而此極限為 x0 的導數。
2. 可微必連續。
3. Lipschitz property
4. 微分的加減乘除、鏈鎖律。
5. 若 f 在 (a,b) 可微且一次導函數連續，則稱 f 在 (a,b) 上是 class C1
   若二次可微且二次導函數連續，則為 class C2。
6. 遞增、遞減之定義。
7. 假設 f 在 x 點可微，則：
1. 若 f 在 x 遞增，則 f'(x) >= 0。
2. 若 f 在 x 遞減，則 f'(x) <= 0。
3. 若 f'(x) > 0，則 f 在 x 嚴格遞增。
4. 若 f'(x) < 0，則 f 在 x 嚴格遞減。
8. f：(a,b) 到 R，若 c 落在 (a,b) 之中，且 f 在 c 點可微，且 f(c) 為最大或最小值，則f'(c)=0。
9. Roll's Thm：
   若 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，且在 a,b 函數值都等於零，則必可在 (a,b) 中找到一點導數為零。
10. 若 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，且在 a,b 函數值都等於零，則對任意實數 L，皆可在 (a,b) 中找到一點 c，使得 f'(c) = L*f(c)。
11. Mean value thm：若 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，則 (a,b) 中可找到一點 c 使得 f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)
12. Generalize MVT：
    若 f,g 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，則 (a,b) 中可找到一點 c 使得
    
      g'(c)[f(b)-f(a)] = f'(c)[g(b)-g(a)]
13. 若 f：(a,b) 到 R 為一連續函數且 f' = 0，則 f 為一常函數。
14. 若 f 在 (a,b) 可微，且 |f'(x)| <= M，則對開集合中任意 x ,y，
    
     | f(x)-f(y) |<= M| x-y |
15. 若 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，則：
1. 若 f' >= 0，則 f 在閉區間遞增。
2. 若 f' <= 0，則 f 在閉區間遞減。
3. 若 f' > 0，則 f 在閉區間嚴格遞增。
4. 若 f' < 0，則 f 在閉區間嚴格遞減。
16. 若 f：(a,b) 到 R 為一可微函數，且 f 嚴格遞增或遞減，則 f 一對一且映成，可考慮 f 的反函數 f^-1 ，且 (f^-1)' (f(x)) = 1/f'(x)。
17. f：(a,b) 到 R 為一二次可微函數
1. 若 f'(x) = 0，f''(x) > 0，則 x 有局部極小值。
2. 若 f'(x) = 0，f''(x) < 0，則 x 有局部極大值。

函數的積分

1. 若 f：[a,b]->R，有界(以下之 f 皆同此 f )，考慮定義域的一個分割 P，可以定義上和、下和，上和定義為分割中的每一段的長度乘上該段的 sup 相加，下和則是乘上 inf 相加。
2. f 的上積分為對所有分割而言上和的 inf，下積分則是下和的 sup。
3. 若 [a,b] 的分割 P 包含了 P' 的所有分割點，則 P 稱為 P' 的 refinement。
4. refinement 的上和較原分割小、下和較原分割大。
5. f 的下積分小於上積分。
6. 若 f 的上下積分相等則稱 f 黎曼可積。
7. 可積函數的係數積、相加、平方、相乘皆可積。
8. 若 f ,g 有大小關係，則積分後會保持。
9. 積分可以分段積，由 a 積到 b 等於由 a 積到 c 加上由 b 積到 c。
10. 非負函數積分後亦非負。
11. 黎曼條件：
     f 在 [a,b] 上可積分，若且惟若對任意誤差 e ， f 皆可找到一個 [a,b] 的分割使得上和、下和之差距小於e。
12. 先積分再取絕對值會小於先取絕對值再積分。
13. 若 f 只有有限個不連續點，則 f 可積分。
14. 在 [a,b] 上遞增或遞減的函數必可積。
15. f 的反導函數是一個在 [a,b] 上連續，在開區間可微的函數，且其導函數等於 f。
16. 微積分基本定理：
1. 若 f 連續，則 f 可積，且定義 F(x) =  f 由 a 積到 x ，則 F 是 f 的反導函數。
2. 若 G 是 f 的反導函數，則 f 由 a 積到 b 會等於 G(b)-G(a)。
17. 若 f 可積，則上方定義之 F 連續。
18. 若 f 可積，則存在一點 c 屬於 [a,b]，使得由此點分割的兩積分值相等。
19. 均值定理：
    若 f 可積且非負，g 連續，則存在 c 屬於 [a,b] 使得 fg 由 a 積到 b = g(c) 乘上 f 由 a 積到 b 。

函數數列

1. 函數數列的逐點收斂：定義域中每一點形成的數列皆會收斂。
2. 函數數列的均勻收斂：在夠大足碼後的函數會落在極限函數上下 e 的範圍中。
3. 只須證明隨著足碼增加，對整個定義域而言，函數列與極限函數的距離會逼近於零，就證明了函數列均勻收斂。
4. 函數級數的逐點與均勻收斂，應看成部分和數列的收斂。
5. 連續函數數列若均勻收斂，則收斂至連續函數。
6. 連續函數數列若均勻收斂，則逼近數列末端的極限和逼近某點的極限順序可互換。
7. 函數級數也有對應的性質。
8. Cauchy criterion：
   若一函數數列對應至一完備距離空間，則此函數列均勻收斂，若且惟若對任意誤差 e ，都可找到一個足碼，使得此足碼後的任兩函數在任意點差距皆小於 e。
   也就是說，若一函數列尾端兩函數間距離逼近零，則均勻收斂。
9. Weierstrass M-test：
   若有一個對應至完備長度向量空間的函數列，且存在一數列，使得對函數列的每一項，此數列會大於等於函數列各點取值的長度，且此數列級數收斂，則函數列級數將均勻並絕對收斂。
10. 積分的收斂：若一定義在 [a,b] 的可積函數列均勻收斂至 f，則 f 可積，且函數列積分的極限會收斂至 f 的積分。(定義域不可以無限大，反例：fn(x) = 1/n，當 x 屬於 [0,n]；其餘為零 )
11. Lebesque's dominated convergence thm：
    若一定義在 [a,b] 的可積函數列逐點收斂至 f，且存在一對所有函數列中函數皆適用於上下界，則 f 可積，且函數列積分的極限會收斂至 f 的積分。
12. 微分的收斂：若一定義在 (a,b) 的可微函數列逐點收斂至 f ，且導函數皆連續，且均勻收斂至 g ，則 f 可微，且 f' = g。
13. 兩逐點收斂數列相加仍逐點收斂，兩均勻收斂數列相加仍均勻收斂。
14. 一個對應至 R^n 的數列收斂，若且惟若他的每一個分量數列皆收斂。
15. Dini's thm：一串由 compact set 映射至實數的連續函數 fk 若具有以下兩點，則 fk 均勻收斂至 0： 
1. f1(x) >= f2(x) >= ... >= 0 ，對所有 A 中的 x。
2. fk 逐點收斂至零。
16. 級數的重新排列，雖然組成看似相同，可是我們定義他是否收斂的關鍵在於部分和數列是否收斂，因此重排可能會對收斂性造成影響。
17. 對一個 conditional conv. 的實數級數而言，對任意實數 x ，我們都可以找到一個級數的重排收斂到 x。( conditional conv. ：收斂，而不絕對收斂。)
18. 若一個級數絕對收斂，則其任意重排會絕對收斂至相同的極限。

連續函數空間

1. C(A,B) 表示由 A 映射至 B 的所有連續函數所成之集合。
   Cb(A,B) 表示由 A 映射至 B 的所有有界連續函數所成之集合。
2. Cb(A,N) 為一個 metric space。定義兩函數 f,g 間的距離為： f(x) 與 g(x) 距離之 sup。
3. 若 A 是一個 cpt. set 則 C(A,B) 等於 Cb(A,B)。
4. 若 N 是一個長度向量空間，則可以在 C(A,N) 上定義加法及係數積，而 C(A,N) 就成為一個向量空間。
5. 若 N 定義有長度，則我們可以在 C(A,N) 中定義函數 f 的長度為：最長的 ||f(x)||。如此一來，我們先前定義的距離就可以視為兩個函數相減後的長度。
6. 若 fk, f 皆屬於 Cb(A,N)，則 fk 均勻收斂至 f，若且惟若在 Cb(A,N) 中 fk 的極限收斂至 f。也就是說，均勻收斂可以看成兩函數相減後的長度收斂至零。
7. 一個完備的長度向量空間稱為 Banach space。
8. 若 N 是一個完備距離空間，則 Cb(A,N) 也會是。

函數的固定點

1. 若 D = { x 屬於 Rn |  ||x|| <= 1}，則一個由 D 映射至 D 的連續函數必有一固定點。
2. Contraction mapping principle：
   (M,d) 是一個完備距離空間，若有一函數 f 由 M 映射至 M ，對任意 x,y 屬於 M
   
   d(f(x), f(y)) <= k*d(x,y)，其中 0 <= k < 1。
   則存在唯一一點 z ，使得 f(z) = z。並且對任意 M 中元素 x ，f^n(x) 皆會收斂至 z 。
3. 一個簡單的例子，在一個城市中拿一張城市的地圖，地圖上必定有唯一一點指到現在所在的位置，此點就是固定點。
4. 同 CMP，若 f 的某個次方是個 contraction 則定理同樣適用。