【代數】從 homomorphism 到 factor group

同態到同構：

在同態的筆記中，我們發現，同態映射會造成某種縮減 ( 造成多映射到少，由 kernal 所造成 )，而我們現在創造一個新的 group ，將這些會對應到同一個元素的東西進行包裝，包裝成新的 group 中的元素，再定義運算的規則，於是乎，我們將原本的同態升級成了同構。

normal subgroup：

當 H 為 G 的 subgroup，而對於 G 中任意元素 a 而言，h 屬於 H，若是：

a'ha 屬於 H (a' = a的反元素)

或是

a'Ha = H

或是

aH = Ha

則稱 H 為G的 normal subgroup

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factor groups：

在一個 group G 中，我們可以找一個 normal subgroup H，來為G進行分組，而形成一個新的group： G / H，這個 group 由 H 和 G 中的元素做運算所組成，如：

aH, bH, a,b屬於G

而 G / H 這個 group 中的運算就定義成：

(aH)(bH) = (ab)H

我們說這個 group 是 G 的 factor group by H

可以想像若原本 G 是一塊長方形，則 H 將他切成一條一條，原本在 G 中，兩點運算會對應到另一點；但在 G / H 中，變成兩條線 L1, L2 的運算對應到另一條線 L3，而且 L3 由 L1, L2 上的【任意點】做運算對應到的點所在的線所決定，也就是說，兩條線中任意點的運算，所對應到的點都會在同一條線上。

也就是說，我們使用 normal subgroup 進行分組之後，每一組裡的任一成員都能完整代表整個組，也就是說相對於分組的條件而言，組內雖然有許多不同的元素，但其本質都是相同的 ( 面對分組條件會產生相同反應 )

而在同態映射的例子中，我們選用 kernal 作為 H，因此 factor group 就可以和原本的值域有isomorphism的映射。( 原本若是多對一就會被 H 吃掉 )

G 到 G / H 也是一個 homomorphism：

f (a) = aH , a 屬於G
因為
f (ab) = (ab)H = (aH)(bH) = f (a) f (b)

這麼一來，若 G 有一個同態映射，而 H 為其 kernal，那麼在 G、G / H 和 G 的值域之間會形成一個循環：

= homomorphism => G / H = isomorphism =>
G G的值域
= homomorphism =>

筆記