【線性代數】線性組合

• Def：linear combination
  
  
  若向量空間 V 中的元素 v ，可由 V 的子集合 S 之元素 u_i 表達為：
  v = a₁u₁ + a₂u₂ +...+  a_nu_n 
  
  那麼我們說 v 是  u₁, u₂, ... , u_n 的一個線性組合(linear combination)，而稱 a₁, a₂, ... , a_n 為這個線性組合之係數(coefficients)。
  
  
  我們所關注的問題是：一個向量是否可被寫成某些向量的線性組合。若是可以，要怎麼做。
  
  我們可以發現，這個問題就等同於要我們找出對應的係數，因此我們將係數設為未知數，藉由對照等式的兩端，我們得到一個線性方程組，因此，尋找線性組合的問題就被簡化為：解出線性方程組(linear equation)。
  
  
  我們藉由三種操作簡化線性方程組，而不改變其解：
  
  1. 交換兩個方程式的位置。
  2. 將一個方程式乘上一個非零係數。
  3. 將一個方程式的倍數加到另一個方程式。
  
  而我們期望最後得到的方程組具有以下特徵：
  
  1. 每個方程式的第一個非零係數都是 1 。
  2. 若一個未知數是某個方程式的第一個未知數，則此未知數不會出現在其他方程式中。
  3. 每個方程式依照他的第一個未知數向下排序。
  
  若是最後滿足上面條件的方程式，出現了 0 = c 的式子，則代表這個方程組無解，也就是說不存在這樣的線性組合。(c 為非零常數)

• Def：span
  
  
  若 S 是向量空間 V 的非空子集合，則我們稱由 S 的所有線性組合所成的空間為 span(S) ，為了方便起見，我們令 span(空集合) = {0}。
  
  我們發現，span(S) 會是一個 V 的子向量空間。並且，若一個向量空間包含了 S 這個集合，那麼必定也會包含 span(S)。
  
  若是： span(S) = V，則我們說 S 織成(span、generate) V 。

• Def ：linear dependent、linear independent
  
  
  若一個向量空間 V 中的子集合 S ，可以以有限非全為零的係數，線性組合出零向量，則我們說 S 這組向量線性相依 (linear dependent)。反之，則為線性獨立(linear independent)。
  
  
  1. 若是一組向量線性相依，就代表其中某個向量為其他向量之線性組合。
  2. 若是 S 包含了零向量，則 S 必為線性相依。
  3. 空集合為線性獨立。
  4. 一個集合線性獨立，若且惟若只有當係數全為零，才能線性組合成零向量。
  5. 若 S1 包含於 S2，且S1線性相依，則 S2 線性相依。
  6. 若 S1 包含於 S2，且S2線性獨立，則 S1 線性獨立。
  7. 若 S 線性獨立，當他聯集 span(S) 中的元素後，即為線性相依。

• Def：basis
  
  
  若向量空間 V 的子集 S 線性獨立，且織成 V ，則稱 S 為 V 的基底 (basis)。
  
  
  1. S 為 V 的基底，若且惟若 V 中任一元素皆正好可由一組 S 的線性組合表示。
  2. 因為 1.，對於一個基底，V 中每一個元素都會對應到一組係數。
  3. 若是一個有限集合 S 可織成 V ，則 S 的某個子集為 V 之基底，因此 V 擁有有限基底。