筆記

Matching：配對 配對問題通常由兩組具有關係的頂點組成，也就是說，所有第一組的頂點都只與第二組的頂點形成配對，而同一組內沒有任何的配對 (我們稱這樣的圖形為  bipartite graph )。而在配對問題中，我們的目標是： 找到一個將兩組頂點一對一配對的方法，或證明這不可能 。

Similar 若 A 與 B 為 n*n 矩陣，且存在一個可逆矩陣 Q ，使得 B = Q -1 AQ，則 B is similar to A，記為 B ~ A。

Def：linear combination 若向量空間 V 中的元素 v ，可由 V 的子集合 S 之元素  u i  表達為： v = a 1 u 1 + a 2 u 2  +...+  a n u n   那麼我們說 v 是  u 1 , u 2 , ... , u n 的一個線性組合( linear combination )，而稱  a 1 ,   a 2 , ... ,   a n 為這個線性組合之係數( coefficients )。 我們所關注的問題是：一個向量是否可被寫成某些向量的線性組合。若是可以，要怎麼做。 我們可以發現，這個問題就等同於要我們找出對應的係數，因此我們將係數設為未知數，藉由對照等式的兩端，我們得到一個線性方程組，因此， 尋找線性組合的問題就被簡化為：解出線性方程組(linear equation)。

Def：複數的極限 若複數數列 z m =  r m +  i * s m  ，則 z m  的極限：  lim m->無限  (z m) =  lim m->無限  (r m  +  i) * lim m->無限  (s m )。

Discuss 當一個函數 u 的微分可表示為某個矩陣 A 乘上 u ，就預設了函數 u 由數個分量函數組成，而各個分量函數的微分為這些分量函數的線性組合，A 正記錄著這個線性組合。 我們的目標是求出函數 u 。然而僅由"某函數微分為某某函數的線性組合"是得不到結果的， 但我們知道若一個函數"微分為自己的倍數"則他會是一個指數函數，我們又知道特徵向量的線性變換為自己的倍數，因此我們想辦法使用特徵向量與分量函數的乘積，組合出原本的函數 u (特徵向量並不是函數。我們只是將原本 u 的分量與標準基底向量的表示法，改為 u 的分量與特徵向量的表示法)。

Def：逆矩陣 若對於矩陣 A 有一個矩陣 B ，使得 AB = BA = I，則我們說 A 為可逆矩陣，且 A 與 B 互為逆矩陣。 逆矩陣可如此得到： 其中 det(A) 為 A 的行列式，adj(A) = cof(A) t ， cof(A) 為 A 的餘因子矩陣，於因子矩陣中，每一個項 Mij 為去掉該行該列後剩餘的行列式，再乘上 (-1) 的 i + j 次方後，所成的方陣，將這個方陣轉置後就得到伴隨矩陣 adj(A)。 因為定理【行列式相乘會等於矩陣相乘再取行列式】，因此可逆矩陣之行列式必不為零。

複數 複數可用 a + bi 表示，也可用極座標表示，r * (cosA + isinA) = r * e iA ，其中A為角度，r 為複數之長度，由極座標表示可以發現一個重要的性質，兩複數相乘就是把長度相乘、角度相加。 將一個複數的虛部變號就得到他的共軛複數，我們可以發現在複數平面上，兩共軛複數互相為對實數軸的鏡射，以極座標的角度來看就是角度變號，因此馬上可以推得，共軛複數相乘會是一個實數 (因為角度抵銷為零，回到實數軸)，共軛複數有下列特質： 1. 複數相乘再取共軛 = 先取共軛再相乘。 2. 複數相加再取共軛 = 先取共軛再相加。 3. 共軛複數相乘為實數。

Def：向量空間的和 (Sum) 若 W 1 ,  W 2 , ..., W k 為向量空間 V 的子空間，我們定義這些子空間的和為：從這些子空間中各取一向量後相加，所成之集合，記為 W 1 +  W 2 + ... + W k 。 若 V = W 1 +  W 2 ，則任意 V 之元素皆可使用 W 1 與  W 2 的元素相加而成。 Def：Direct Sum 若 V = W 1 +  W 2 + ... + W k ，且任一個子空間 W i  與【其餘子空間之和】之交集皆為零向量空間，則我們稱 V 是這些子空間的 direct sum ，使用加上圓圈的加號表示。 若 V 為 W 1 與  W 2 的 direct sum ，則 V 中的任意向量皆可以由 W 1 與  W 2 的元素相加而成，我們可以發現，若改變其中一子空間取出之向量，因為各子空間互相獨立，將無法藉由改變其餘子空間之向量以彌補，因此取法是唯一的。 #### Thm 以下的命題皆等價： 1. V 為子空間  W i  ， i = 1 ... k ，的 direct sum。 2.  V 為子空間  W i  的 sum ， i = 1 ... k ，而且若在各子空間中各找任一向量，則這些向量會線性獨立。 3. 每一個 V 中的向量 v ，皆恰好能在這些子空間中找到唯一一組向量，使得這些向量之和等於 v 。( 每個子空間一個向量 ) 4. 只要將各個子空間的基底聯集起來，就會得到一組 V 的基底。 5. 存在一組子空間的基底，聯集後會成為 V 之基底。 Thm 一個作用於有限維向量空間 V 的線性變換 T 可對角化，若且惟若 V 是 T 的特徵空間的 direct sum

Def：特徵多項式 1. 若 A 為 n*n 的方陣，則係數 k 為其特徵值，若且惟若 det(A-kI) = 0。我們將 f(t) =  det(A - tI)  稱為 A 的特徵多項式。 2. 若 T 為一個 n 維線性變換，b 為一組基底，令 A = [T]b，則   f(t) =  det(A - tI)  為特徵多項式。 特徵多項式的解並不會因為選取 不同 基底而改變，也就是說，若選取特徵向量為基底，則特徵多項式會是： 連乘的 (k i  - t ) 其中   k i  為特徵值，很明顯的： 1. 此多項式的解會是   k i 。 2. 特徵多項式的常數項會是：特徵值  k i  的乘積 。 3.  特徵多項式的  n - 1 次方項會是：特徵值   k i  的和。 而無論矩陣 A 是否對角化，以上特質皆會成立。 #### Thm a. 特徵多項式的領導係數為 (-1) n 。 b. A 最多有 n 個不同的特徵值。 Thm 若 k 為線性變換 T 的一個特徵值，則 v 為其對應的 特徵向量 若且惟若 (T - kI) v =  0 ，且 v 不等於零向量 。 Thm 1. 若在一個線性變換中，每一個相異的特徵值各取一對應的 特徵向量 ，這些向量會形成一個 線性獨立 的集合。 2. 若 T 為一個作用於 n 維 向量空間之線性變換，且 T 有 n 個相異特徵值 ，則 T 可對角化 。 Thm 1. 若一個以 F 為係數之多項式 f(t) ，可以表示成： f(t) = c(t - a1)(t - a2)...(t - an)       (c 及 ai 為 F 之元素。) 則稱 f(t) 可在 F 下分解 (split over F)。 2. 任意可對角化的線性變換，其特徵多項式必可分解。 Def： multiplicity (代數重根數) 若 k 為一個特徵值，若 (t - k) c 為特徵多項式之因式，則我們稱能滿足這個條件之最大整數 c 為 multiplicity of k，又稱為代數重根數。 multiplicity 並不代表 該特徵值 k 所對應的 特徵向量的數量 ，因為特徵向量有可能不存在。 Def：特徵空間 (eige