【代數】Field：體

• Def：Field
  
  一個 Field  F 定義在一個集合與兩種運算方式之下，兩種運算分別為加法 ( + ) 與乘法( * )。若 a, b, c 為 F 中的元素，則具有以下性質：
  
  
  1. 乘法與加法封閉性與唯一性：a + b 與 a * b 唯一且皆屬於 F
  
  2. 乘法與加法單位元素：0、1 屬於 F ，使得 a + 0 = a 且 a * 1 = a
  
  3. 乘法與加法反元素：任意 a 皆存在 b、c ，使得 a + b = 0 、 a * c = 1，(只有 0 沒有乘法反元素)
  
  4. 乘法與加法交換律：a + b = b + a  、  a * b = b * a
  
  5. 乘法與加法結合律：(a + b) + c = a + (b + c) 、 (a * b) * c = a * (b * c)
  
  6. 乘法對加法的分配律：a * (b + c) = ab + ac
  
  
  R 是一個 Field 、有理數也是一個 Field、Z2：{0, 1}，其中1 + 1 = 0，其餘運算與與正常運算相同，這也是一個 Field 。
  
  經由加法與乘法反元素，可以定義減法與除法為與反元素相加或相乘。

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• Thm：消去律
  
  對任意 a, b, c 屬於 F
  
  (1) 若 a + b = c + b ，則 a = c
  (2) 若 a * b = c * b，且 b 不等於 0，則 a = c
  
  由反元素、結合律即可證出
  
  corollary：由此定理可證出加法及乘法單位元素唯一。

• Thm 
  
  若 a, b 為 Field F 中的元素，則具有以下性質：
  
  (1) a * 0 = 0
  (2) (-a) * b = a * (-b) = -(a * b)
  (3) (-a) * (-b) = a * b
  
  其中(1)可利用 0 + 0 = 0 與消去律證得，(2)則是各自檢驗前兩項符合 a * b的反元素，(3)可由(2)證得。

• Characteristic
  
  在上方 Z2 的例子中，可以發現有一些 Field 具有循環的特質。即其乘法單位元素 1 ，在連加 p 次之後，其總和會是 0 ，對於一個 Field ，我們把最小的 p 稱為這個 Field 的 Characteristic ，而若是沒有任何正整數 p 可以符合，則稱這個 Field 的 Characteristic 為 0。
  我們可以發現，若一個 Field 的 Characteristic 為 p 則該 Field 中任意元素連加 p 次，其結果也會是 0 !