【高等微積分】筆記四
- f：A->R 的黎曼積分：若 A 是 Rn 的有界子集，且 f 有界
- 將 f 擴展至一包含 A 的立方體 B 中，將 A 以外的點設為0。
- 對 B 做 partition P
- 得到上和與下和
- 對任意 partition 得上積分下積分
- 上下積分若相等則得黎曼積分
- 黎曼條件：f 黎曼可積，若且惟若對任意誤差 e，皆可找到一 partition 使上下和之差距小於 e。
- 若 A 為 Rn 中一有界集合，則將 A 中各點對應至1，將 A 的補集對應至零的函數稱為 A 的 char. funtion(特徵函數)。
- 若 A 的特徵函數可積分(黎曼可積)，則稱 A has volume，且 V(A) = 其積分值。
(在 R 中，volume = 長度；在 R2 中，volume = 面積。) - 一個 Rn 中有界集合 A 的 volume 為零，若且惟若對任意誤差值 e，皆存在一組有限的長方體將 A cover 住，且這些長方體的 volume 總和小於 e。
(在 R 中，長方體為線段；在 R2 中，長方體為長方形...) - 我們說一個 Rn 中的集合 A 為 measure zero，當對任意誤差值 e，皆存在一組可數的長方體將 A cover 住，且這些長方體的 volume 總和小於 e。
- 若 Rn 中集合 A volume zero ，則必 measure zero。
若 Rn 中集合 A volume zero ，則 A 的子集必 volume zero。
若 Rn 中集合 A measure zero ，則 A 的子集必 measure zero。
若 Rn 中集合 A1, A2, A3 ... measure zero，則 Ai 的可數聯集亦 measure zero。 - Lebesque's thm：
令 A 為 Rn 中一有界集合，f：A->R 為一有界函數，將 f 之定義域推廣至 Rn，A 以外的函數值皆設為零。則 f 黎曼可積，若且惟若推廣 f 的不連續點所形成的集合 measure zero。 - 一個 Rn 中有界集合 A 有 volume，若且惟若 A 的邊界 measure zero。
(特徵函數的不連續點就只有邊界。) - 若 Rn 中有界集合 A 有體積，且有界函數 f：A->R 只有可數個不連續點，則 f 可積。
- 若 Rn 的有界子集 A measure zero，則對 A 上任意可積 f 的積分值皆為零。
- 若 f：A->R 可積，且 f >= 0，而 f 在 A 上積分為零，則 A 上函數值不為零的部分 measure zero。
- 若 A 有體積，且 |f|<=M，則 |f 在 A 上積分| <= M*V(A)。
- MVT：
若 f：A->R 連續，且 A cpt、connected、有體積，則 A 中存在一點 x 使得 f 在 A 上的積分值 = f(x)*V(A)。 - 若 f 在有界集合 A, B 及其交集皆可積分，且 A B 之交集為 measure zero ，則 f 在 A B 之聯集上之積分為：積 A 加積 B 。
- 若有界集合 A B 有體積，則 A B 之聯集亦有體積。
(有限聯集才可成立，可數聯集時無法成立，如 Q 為有理點的可數聯集卻無體積)
Improper integral：考慮正函數
- 若 A unbdd，f 非負，且 f 在任意以 a 為半徑的 cube 上皆可積，若當 a 趨近無限時的積分存在，則稱 f 在 A 上可積，將其極限定為其積分值。
- 對 unbdd 函數 f，設立一個界線，超過界線的設為零，則界線趨近於無限時的積分值即可定義為 f 的積分值。
- 可將函數 f 拆成 f+、f- ，若 f+、f- 皆可積且有限，則 f 也可積分，此種可積為絕對收斂。
- 若 |f| 可積，且 f 在任意 cube 上皆可積，則 f 可積。
- 若 f：[a, 無限)->R 是一非負連續函數，F 為 f 的反導函數，則 f 可積，若且惟若趨近無限時 F(x) 存在。
- comparision test：
若 0 <= g <= f，f 可積，g 在任意 cube 上可積，則 g 可積且積分值小於 f 的積分值。(定積分) - conditional converge：
在 R 中從 a 積到無限的積分，若直接取極限時收斂稱為條件收斂，條件收斂的函數可能在拆成 f+、f- 時不收斂。
- Lebesque monotone converge thm：
若函數列 gn ：[a,b]->R，對任意 n，g 在 [a,b] 上皆可積，且 gn 單調遞降至 0 (也就是說畫成函數圖形時，gn+1 必位於 gn 下方，且趨近至零。)，則 n 趨近於無限大時，gn 在 [a,b] 上的積分為零。 - 若含數列 fn >= 0，在 [a,b] 上可積，且 fn 遞增至某可積函數 f，則當 n 趨近無限時 fn 的積分會趨近 f 的積分。
- 若函數列 gn >= 0 對任意 n 皆可積分，若 g 為所有 gn 相加，且 g 可積，則 g 的積分等於 gn 的積分相加。
- Fubini's thm：
若 f：[a,b]*[c,d]->R 可積，且對任意 [a,b] 中固定 x，f(x,y) 可積，則 f 的積分等於 f 先對 y 積分再對 x 積分。
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