【代數】筆記四


一、PID
  1. 若 F 是一個體，則 F[x] 的任意 ideal 皆 principle。
  2. 整數的 ideal 皆 principle。
  3. 一個定義有除法的 integral domain 只會有 principle 的 ideal。我們將這種 domain 稱為 principle ideal domain (PID) 。因此對體 F 而言，F[x] 也是 PID。
  4. F[x]/< h> 中的元素為 deg 比 h 小的多項式所代表的 coset。  
  5. 若 F 為一體，h 為 F[x] 中次數大於一的多項式，則以下三點等價：
    1. F[x]/< h> 是一個體
    2. F[x]/< h> 是一個 integral domain
    3. h 在 F[x] 中不可分解
  6. 若 R 是一個 PID，p 是 R 中一個非零非 unit 元素，則以下等價：
    (在一般的 integral domain 中，往下推是正確的，而 PID 使得往上推也可行。)
    1. < p> 為 max ideal
    2. R/< p> 是個 field
    3. < p> 為 prime ideal
    4. R/< p> 是個 integral domain
    5. p 是 prime
    6. p 不可分解
二、UFD
  1. 我們說 integral domain R 中的元素 a, b associates，記做 a~b，當 a=ub ，其中 u 為 R 中某 unit。
  2. a~b 若且惟若 a, b 互相整除。
  3. d|a，若且惟若 < d> 包含 < a>。
  4. a~b 若且惟若 < a> = < b> (a, b 所生成的 principle ideal 相同。)
  5. 當我們說 integral domain R 中的元素 a 不可分解 (irreducible) 時，則 a 非零且不是 unit，且若 a=bc，則 b, c 必有一個是 unit。
  6. UFD：unique factorization domain
    一個 integral domain，其中任意非零非 unit 的元素皆可唯一分解(順序可調換、並將 associate 視為相同)成不可分解元素之乘積。
  7. 若 integral domain R 中的元素 a ~ 1，則 a 為一 unit。
  8. 若 integral domain R 中的元素 p|ab，則 p|a or p|b，且 p 非零且非 unit，則稱 p 為一個 prime。
  9. 在一個 integral domain 中，若 p 為 prime ，則 p 不可分解。
  10. 若 R 是一個 int. domain，則 R 為一個 UFD ，若且惟若 R 中任意不可分解元素皆為 prime。
    (若有多種分解，如 x = ab = cd，則 a 當然無法整除 c 或 d。)
  11. 在 integral domain R 中，p 是一個 prime，若且惟若 < p> 是一個 prime ideal。
  12. 所有的 PID 都是 UFD。
三、extension
  1. 若 E, F 為兩個體，且 E 包含 F，則 E 是 F 的一個 extension。
  2. 若 E 是 F 的一個 extension，且存在 E 中元素 u，使得 E = F(u)，則 E 為 F 的一個 simple extension。
    ( F(u) 為包含 u 的最小 extension，即以 F 中元素為係數，所形成之 u 的所有有理式。 )
  3. 若 E 是 F 的一個 extension，u 屬於 E ，若 u 是 F[x] 中某個非零多項式的根，則我們說 u is algebraic over F，否則 u is transcendental over F。
    (若 u algebraic 則有理式可以被簡化)
  4. 若 u is algebraic over F，則 u 會滿足 F[x] 中唯一某個不可分解的多項式(在associate 下唯一)，稱之為 minimal polynomial，且此多項式會整除所有 u 所滿足的多項式。
  5. 若 u is algebraic over F，則 degree of u over F 定義為 u 的最小多項式的 degree。
  6. 若 u over F 的 degree 為 n，則 F(u) 可以表示成以 F 中元素為係數，所有 u 的 n-1 次多項式之集合，也就是說 1, u, ..., u^(n-1) 是 F(u) over F 的一組基底，以此定義 F(u) 的 dim = n。
  7. F(u) 同構於 F[x]/< m(x)>，其中 m(x) 為 u 的最小多項式。
  8. F 的 extension E 是一個 algebraic extension，當 E 中任意元素皆 algebraic over F。
  9. [E：F]，定義為以 F 為係數時，向量空間 E 之維度。
  10. 若 [E：F] 有限，則稱 E 為 F 的 finite extension。
  11. 若體 K 包含 E 包含 F，且 { e1 ... en } 為 E over F 的一組基底，{ k1 ... km } 為 K over E 的一組基底，則 { ei*kj } 為 K over F 的一組基底。也就是說 [ K：F ] = [ E：F ]*[ K：E ]。
  12. 若 E 是 F 的 finite extension，則 E 中元素皆 algebraic over F。
  13. 所有能用 Q、加、減、乘、除、n次根號表示的數皆 algebraic over Q。
  14. 所有 algebraic over Q 的元素集合稱為代數數。
四、splitting field

  1. 若 F 為一體，f 屬於 F[x]，若存在一個體 E 使得 f 可在其中分解成一次式的乘積，且 E = F(u1,... ,un) (ui 為 f 在 E 中的根)，則我們說體 E 是 f over F 的 splitting field。
    也就是說，splitting field 是使 f 能分解的最小 extension。
  2. Kronecker's thm：
    若 F 為一體，非常數多項式 f 屬於 F[x]，則存在 F 的 extension K，使得 f 在 K 中有一根 u，且 K = F(u)。 
  3. 若 F 為一體，則 F[x] 中任意非常數多項式 f  ，皆存在 splitting field。
  4. f over F 的 splitting field 唯一。 (若有兩個則同構。)

五、finite fields

  1. F 是一個有限體，若且惟若 F 是 Zp ( p 為質數，p = char(F) ) 的一個 finite extension。
  2. 若 F 是一個有限體，則 |F| = p^n，其中 p = char(F)，n = [F：Zp]。
  3. 若 F 為一有限體，且 |F| = q = p^n，則 x^q -x 在 F[x] 中可分解，也就是說 F[x] 是 x^q -x 的 splitting field over Zp，且 F 的所有元素皆為其根。
    ( F*-{0} 是一個乘法群，利用拉格朗日可得 。)
  4. Golois's thm：
    給定質數 p ，及任意正整數 n，則存在唯一 (up to isom.) finite field F，使得 |F| = p^n，稱之為 order p^n 的 Golois's field。
  5. 有限體 |F| = q = p^n，若且惟若 F 是 x^q -x 的 splitting field over Zp。

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