【高等微積分】筆記三
- Weirestrass thm：
f：[0,1] -> R 為一連續函數，則不論多近的距離 e ，皆存在一多項式 p ，使得 || f-p || < e，也就是說，可以用多項式逼近任意 C([0,1],R) 中的函數。 - [a,b] 中的多項式也在 C([a,b],R) 中 dense。
- Stone-Weierstress thm：
若 A 為某距離空間中的一個緊緻集，若 B 包含於 C(A,R) 且滿足以下條件，則 B 在 C(A,R) 中也會 dense。(也就是說 B 的 closure 等於 C(A,R))： - B 中函數作加法、乘法及係數積具有封閉性。
- B 包含常函數。
- 對 A 中任意兩不同點，存在 B 中一函數，使得此兩點函數值不同。
- Abel's test：若 fn 級數均勻收斂，gn 隨著 n 增加而單調遞增或遞減，且存在常數 M 使得對任意 n 及變數 | gn | < M，則 gn*fn 之級數亦均勻收斂。
- Dirichlet's test：
若存在 M 使得對任意變數及 n， fn 的部分和 |sn| <= M，且 gn 隨著 n 增加而均勻遞降到零，則 fn*gn 之級數會均勻收斂 - 由 root test 之倒數得到冪級數的收斂半徑，在收斂半徑內冪級數絕對收斂，半徑外則發散。
- 冪級數在其收斂半徑中無限次可微，微分後具有相同收斂半徑。
- A 為 Rn 中一 open set，f：A->Rm，當我們可以找到一由 Rn 映射至 Rm 的線性變換 Df(x0)，使得 || f(x)-f(x0)- Df(x0)(x-x0)|| / || x-x0|| 的極限趨近於零，則我們說 f 在 x0 可微，且導數為 Df(x0)。
- 若 f 在 x 可微，則有唯一的 Df(x)。
- 可以定義 f： Rn->Rm 對 xi 的偏微分為每個子函數 fj 都對 xi 方向偏微的結果。
- Df(x) 可以表示成一個矩陣，稱為 f 的 Jacobian 矩陣，其中每一直行為 f 各子函數對同一方向偏微所成。
- 當 f：Rn -> R，則 Df(x) = Gridian f = f 對各方向偏微所成之向量。
- 可微必連續，f 有 local Lipschite prop：對任意 x0，存在常數 M，使得只要 x 與x0 距離夠近，則 || f(x)-f(x0) || <= M|| x-x0 ||。
- 一個向量值函數的值域為高維度空間中的曲線，若向量值函數可微，則其導數為曲線的切線向量。
- 導函數不見得會連續。
- 存在函數處處連續處處不可微。
- 若一函數在 Rn 一開集合內對所有子函數各方向的偏微分皆存在且連續，則此函數在此集合上可微。
- 對一個多變數函數 f ：Rn->R，及一 Rn 上單位向量 e，可定義 f 在 e 上的方向導數為 f(x+te) 對 t 的微分。
- e 方向的方向導數，可由 gradian 與 e 內積得到。
- 所有方向導數存在不代表可微分。
- 高緯度函數微分也有鏈鎖律：
D(g(f))(x0) = (Dg)(f(x0)) * Df(x0)，可視為兩矩陣相乘。 - 乘法法則：
若 f ：A 屬於 Rn -> Rm，g ：A->R，f, g 皆可微分，則可適用乘法法則。
D(gf)(x)e = g(x)( Df(x)*e ) + (Dg(x)*e)f(x)，e 為 A 中任意向量。 - 除法法則：
同上，若 g 不為零，則可得 D(f/g) - 微分為線性運算。
- gradian 的方向與等高面垂直，此方向為變化率最快的方向，其他方向的變化率可由單位方向向量與 gradian 內積而得。
- Mean Value Thm：
若 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 中可微，則可在 (a,b) 中找到一點之導數等於 a、b之間的割線斜率。 - 若一多變數函數在一開集合中可微，則此集合中任取兩點連線亦有 mean value thm，也就是說可在此連線中找到一點，在該點的 gradient 與兩點間的向量內積，等於兩點間函數值的差。
- 對一多變數向量值函數，對對應域上每一個子函數，皆可找到一個點 ci 符合 mean value thm。fi(y)-fi(x) = Dfi(ci)(y-x)
而對對應域上任意向量 e，也可找到一點 z 使得
e * [f(y)-f(x)] = e * [Df(z)(y-x)] - Rn 的子集合若任意兩點之連線都包含於集合中，則稱之為凸集合 (convex)。
- Mean value inequality：
A 為 Rn 中一 open convex set，若 f ：A->Rm 可微，且對 A 中任意 x，Rn 中任意 y，|| Df(x)(y) || <= M || y ||，則對 A 中任意x1、x2， || f(x1)-f(x2) || <= M|| x1-x2 ||。 - A 為 Rn 中一 open convex set，若 f ：A->Rm 可微，且對 A 中任意點 Df = 0 ，則 f 是一常數函數。
- A 為 Rn 中一 open connected set，若 f ：A->Rm 可微，且對 A 中任意點 Df = 0 ，則 f 是一常數函數。
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