【複變】筆記二
- 若 f：U->C 在開集合 U 中可解析，則 f 在 U 中無限次可微。
- 若 f 在開集合 U 上可解析，則對 U 上一點 a，到 a 點的割線斜率函數 g 也會在 U 上可解析。 g = f(z)-f(a)/z-a，when z != a。 g = f'(a)，when z = a。
- 若 f 在一圓內可解析，且有 a1、...、an 等零點，將函數 g 定義為，當 z 不再零點上時，g(z) = f(z)/(z-a1)...(z-an)，而當 z 在零點上時則取其極限。則 g 在此圓內亦可解析。
- Liouville's Thm：
一個 bounded entire 函數為一常函數。 - the extended Liouville's Thm：
若 f 為一 entire 函數，且存在常數 A、B 使得 |f(z)| <= A+B|z|^k，則 f 為一個次數不超過 k 的多項式。 - 若 f：U->C，其中 U 為複數平面扣掉一些 bdd & closed set，若對任意大於零的 M ，都能找到一個 R ，使得 f 在距原點 R 以外的地方，取值長度皆大於 M，則我們說 f 趨近於無限。
- 若 f 是一個次數大於零的多項式，則 f 趨近於無限。
- 一個趨近於無限的 entire 函數必為一多項式。
- The fundamental thm of algebra：
任意非常數多項式皆有一複數根。 - Uniqueness thm：
若 f 在 region D 中可解析，且 D 中存在一相異點組成之數列 zn ->z0 in D，而此數列中任意點取值皆為零，則 f 在 D 中取值皆為零。 - 若 f, g 在一 rigion D 中可解析，且 D 中存在一相異點組成之收斂數列在D中收斂，而 f, g 在此數列中取值皆相同，則在 D 中 f=g。
- 若 f, g 在一 rigion D 中可解析，且 D 中存在一開集合，使得 f, g 在此集合中取值皆相同，則在 D 中 f=g。
- 一個 entire 函數 f 是一個多項式，若且惟若 f 趨近於無限大
- Mean value thm：
若 f 在 rigion D 中可解析，則 f(a) 等於 f 在 D 中以 a 為圓心之一圓上積分後除以 2拍。 - The maximal principle：
若 f 是 region D 上一個非常數可解析函數，則對 D 中任意點 z，任意以 z 為圓心的集合中，皆可找到一點取值的長度比 z 點取值長度大。也就是說，在 D 中 |f| 找不到一個最大值。 - 若 f 在一 bdd region D 上可解析，且在邊界上連續，則 |f| 的最大值會發生在邊界上。
- The minimal principle：
若 f 是 region D 上一個非常數可解析函數，且 |f| 在 z 點有最小值，則 f(z) = 0。否則 1/f 將違反 max principle。 - The open mapping thm：
一個非常數可解析函數會將一個連通開集合送到一個開集合。 - Schwar'zs lemma：
f：B1(0)->C 為一可解析函數，單位圓內的函數值長度都小於1，且 f(0)=0，則函數值的長度會小於等於變數的長度，且 f'(0) 小於等於 1。上述任一個等號成立，若且惟若 f 是一個旋轉函數，亦即將變數轉一個角度的函數。 - 假設 |a| < 1，可定義一函數 Aa(z) = z-a / 1-a_z，則 Aa 在半徑為 1/|a| 的圓上可解析，因此在單位圓上必可解析，且 Aa 的函數值長度為 1 ，若且惟若變數長度為 1。
- 若 f entire，且 |f(z)| <= |1/Im(z)|，則 f = 0。
- Morera's thm：
若 f 是一個開集合 U 中的連續函數，且 f 在 U 中任意長方形邊界的線積分皆為零，則 f 在 U 中可解析。 - fn, f 為定義於 D 中函數，若 fn 在 D 中任意 compact subset 皆均勻收斂至 f，則我們說 fn 均勻收斂至 f on compacta。
- 若 fn 在開集合 D 中可解析，且 fn 均勻收斂至 f on compacta，則 f 在 D 中亦可解析。
- 若 f 在一開集合 D 上連續，且在 D 上除了線段 L 之外皆可解析，則 f 在 D 上可解析。
- 一個 deleted neighborhood 為一個扣除掉圓心的圓盤開集合，記為 B'r(z0)，z0 即被扣除的圓心。
- 若存在 r 大於零，使得 f 在 B'r(z0) 可解析，且 f 在 z0 沒有定義，則稱 f 在 z0 有一個 isolated singularity。若是存在另一可解析函數 g，使 z0 在 g 上有定義，且存在某一個 r 大於零，使得在 B'r(z0) 上f = g，則稱 z0 為一個 removable singularity。
- 若 f 在 z0 上有一個 iso. singu. 則 z0 為一個 removable singu.，若且惟若 z 趨近 z0 時，(z-z0)f(z) 趨近於零。此時可創造出一個可解析函數，再透過割線斜率函數將 z-z0 消掉，就得到一在 z0 上有定義的可解析函數。
- 若 f 在一個孤立奇異點的某個 deleted nbhd 上有界，則該奇異點是可移除的。
- h 為 Br(z0) 上一個可解析函數，若 h 在 z0 的函數值及小於 k 階的導數皆為零，且 z0 的 k 階倒豎不為零，則我們說 z0 is a zero of h of order k。
- f 為 B'r(z0) 上一可解析函數，若 f = g/h，其中 g, h 同樣在 B'r(z0) 中可解析，且 g(z0) != 0、h(z0) = 0，則我們說 f 在 z0 有一個 pole。而若是 h 在 z0 是一個 k 階的零點，則說 f has a pole of order k。若 f 在 z0 既不是一個可移除的奇異點，也不是一個 pole，則我們說 f 在 z0 有一個 essential singularity。
- f 為 B'r(z0) 上一可解析函數，則 f 在 z0 有一個 pole of order k，若且惟若 f(z)(z-z0)^k 在 z0 極限不等於零，且 f(z)(z-z0)^(k+1) 在 z0 極限等於零。
- 我們可以將可移除的奇異點視為零階的 pole，essential 奇異點視為無限多階的 pole。
- Casorati-Weierstrass theorem：
f 為 B'r(z0) 上一可解析函數，若 f 在 z0 是一個 essential singularity 則 f 的值域 dense 在複數平面上
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