【代數】筆記三

一、環 (Ring) 與體 (Field)

1. 環是一個擁有兩個二元運算的集合，通常以加法和乘法表示，此集合在加法下會構成一個可交換群，並在乘法下構成一個 monoid，同時乘法對加法具有分配律，也就是說，滿足以下性質的集合就稱為一個環：
1. 具有加法及乘法運算，且具有封閉性。
2. 有加法單位元 0。
3. 有加法反元素 -a。
4. 有加法結合律。
5. 有加法交換律。
6. 有乘法單位元 1。
7. 有乘法結合律。
8. a*(b+c) = a*b + a*c
   (b+c)*a = b*a + c*a。
2. 在一個環中，加法與乘法最大的差異在於交換性與反元素，且分配律只有單方向有效。
3. 在一個環中，加法單位元 0 與任意元素相乘皆為 0。
4. (-a)b = b(-a) = -(ab)。
5. (-a)(-b) = ab。
6. 一個子環指的是，在相同運算及相同乘法單位元下，子集合構成的環。
7. 子環測試，一個子集合是一個子環若滿足以下條件：
1. a+b, -a, a*b 具有封閉性。
2. 此集合包含 0 和 1 (單位元)。
8. 一個環中某元素若具有乘法反元素，則稱之為 unit。
9. 一個環 R 中所有 units 構成的集合會形成一個乘法群，通常以 R* 表示。
   (若不考慮加法，則一個環就是一個 monoid 。)
10. 若一個環中任意非零的元素皆有乘法反元素，則稱之為 division ring ( skew field )，此時我們就可以定義除法，而若是這個環可交換，則就成為一個體 ( Field )。
11. 在一個體中，加法與乘法的差異在於：0 沒有乘法反元素，以及分配律。
12. Zn 是一個體，若且惟若 n 是質數。
13. 若一個環中元素 a 某正整數次方後為 0 ，則稱 a nilpotent。
    若是 a 平方等於 a，則稱 a idempotent。
14. 我們將 n 個 a 相加記為 na 。
15. 在一個環中，若存在一正整數 n ，使得對任意元素 a ，na 皆等於零，則這樣的正整數中最小的一個，稱之為這個環的 characteristic；若不存在，則稱此環的 char 為零。
16. 在一環中，若一正整數 n 使得對任意元素 a， na = 0，若且惟若 n1 = 0。
17. 因此一個環的 char 可以視為使 n1 = 0 的最小 n。
    (char 彷彿是由乘法單位元到加法單位元的距離。)
18. 子環的 char 與母環相同。
19. 我們稱兩個環 R ,Q 同構，若是存在一個雙射 f：R->Q，使得對任意 R 中 a ,b：
1. f(a+b) = f(a) + f(b)。
2. f(a*b) = f(a) * f(b)。

二、Integral Domains and Fields

1. 若在一個環上，任意 ab = 0 必 a=0 或 b=0，則稱之為一個 domain 。
   一個可交換的 domain 稱為 integral domain。
2. Zn 是一個 integral domain iff n 為質數。(此時 Zn 也是一個 field)
3. 一個 division ring 是一個 domain。利用除法可立即得出。
4. 以下三點互相等價：
1. R 是一個 domain。
2. R 有左消去律。
3. R 有右消去律。
5. 一個 domain 的 char 必為零或是質數。否則可推出其因數也是 char。
6. 任意有限的 integral domain 都是一個體。
7. 若 F 是一個體，而 R 為 F 中一個 integral domain，則包含 R 的最小 field 為：
   
   { a/b 屬於 F |  a,b 屬於 R，b 不為 0 }
   

   稱之為 field of quotient of R，記做 Q(R)。
8. 任意 integral domain R 皆存在一個 Q(R)。( i.e. R 包含於某個體)

三、Ideal and Factor rings

1. 一個環 R 的子集 I 若滿足以下兩條件，則稱之為一個 ideal：
1. I 是 R 在加法下的子群。
2. 若 a 屬於 I，r 屬於 R，則 ar、ra 都屬於 I。
2. 若 I 是 R 的 ideal，則 R / I 會形成一個環。
   其中元素為 I 的 cosets，運算結果為代表作運算後所在的 coset。
3. r 和 s 落在 I 的相同 coset 中，若且惟若 r-s 屬於 I。
4. 若 R 是一個可交換環，a1, a2, ..., an 屬於 R，則包含他們的最小 ideal 為：
   
   a1*R + a2*R +...+ an*R
   

   稱之為由 a1 等 generate 的 ideal，有時記做 。
5. R 為一個可交換環，A 為 R 中一個 ideal ，若是 A 可由一個元素 generate 則說 A 是一個 principal ideal。
   也就是說存在 a 屬於 A ，使得 A = aR。
6. 若 R 為一個可交換環，A 為 R 中一個 ideal，若對任意 rs 屬於 A，r 或 s 必有一屬於 A，則稱 A 為一個 prime ideal。
   (因此，任兩個不屬於 A 的元素相乘必不屬於 A。)
7. R/A 是一個 integral domain ，若且惟若 A 是一個 prime ideal。( R 可交換 )
8. R/A 是一個 field ，若且惟若 A 是一個 maximal ideal。( R 可交換 )
   也就是說，包含 A 而比 R 小的 ideal 只有 A。
9. 一個 maximal ideal 必為一個 prime ideal。
10. R 為一個環，A 為 R 中一個 ideal，若 A 包含一 unit ，則 A = R。
11. 若 R 是一可交換環，a 屬於 R，則 < a> = R，若且惟若 a 是一個 unit。
12. 若 R 是一可交換環，則 R 是一個 field ，若且惟若 R 只有 R 與 {0} 兩個 ideal。
13. 若 R 是一個環，A 為 R 中一個 ideal，則：
1. 若 B 為 R 中一個包含 A 的 ideal，則 B/A 是 R/A 中的一個 ideal 。
2. 任意 R/A 中之 ideal 都可寫成 B/A，其中 B 為某 R 中包含 A 之 ideal。
14. R、S 皆為環，若有一個映射 f：R->S，對乘法與加法皆滿足 homomorphism，且  R 的乘法單位元素映射後為 S 的乘法單位元素，則稱 f 為一個 ring homomorphism。
15. 一個 ring homo. 在加法下為 group homo.。
16. Isomorphism thm：
    若 f：R->S 是一個 ring homo.，則具有以下性質：
1. ker(f) 是 R 的 ideal。
2. f(R) 是 S 的子環。
3. R / ker(f) 同構於 f(R)。

四、多項式

1. R 是一個環，則一個以 R 為係數的多項式環，記做 R[x] (只有有限多項)。其元素之相等與運算與一般多項式之定義相同。
   (在此我們將個別多項式視為環中的元素，而不將其視為函數。)
2. R[x,y] 可視為 (R[x])[y]，以 R[x] 作為係數的多項式環。
3. 多項式除法：
   若 f,g 屬於 R[x]，且 f 不為零多項式，且 f 最高項係數是 R 中一個 unit，則存在唯一兩個多項式 q,r 屬於 R[x] ，使得 g = f*q + r。
   且要嘛 deg(r) < deg(f) ，要嘛 r 為零多項式。
4. 若 R 是一個可交換環，a 為 R 中固定元素，則 f：R[x] -> R，f(g(x)) ->g(a)，是一個 ring hom.。(若不可交換，乘法會出問題。)
   (也就是說，多項式與函數值之間有 hom. 之關係。)
5. Factor thm：
   若 R 是一個可交換環，f 屬於 R[x]，a 屬於 R，則 x-a 整除 f ，若且惟若 f(a) = 0。
   (x-a 的領導係數為 1 ，因此可使用除法得出結果。)
6. Remainder thm：
   若 R 是一個可交換環，f 屬於 R[x]，a 屬於 R，則 f 除以 x-a 的餘數等於 f(a)。
7. R 是一個 integral domain ，若 f 屬於 R[x]，deg(f) = n，則 f 在 R 中最多只有 n 個根。
8. f 是一個整係數多項式，若 d/c 是 f 的一個根，其中 d 不為零，c,d 為兩互質整數，則 c 可整除首項，d 可整除常數項。

五、Factorization of polynomials over a field

1. F 為一個體，若 f 屬於 F[x]，deg(f) >=1，我們說 f 在 F[x] 中 irreducible，若 f = g*h，則 deg(g) = 0、或者 deg(h) = 0。其中 g,h 屬於 F[x]。(也就是說，除了常數之外，f 不能拆成兩多項式相乘)
2. 若 f 屬於 F[x]，deg(f) = 2 or 3，則 f 在 F[x] 中 irreducible，若且惟若 f 在 F 中沒有根。
3. Fundamental thm of algebra：
   C[x] 中任意非常數多項式必有一個複數根。
4. 若 f 屬於 C[x] 則存在複數 a,c1,c2 ... cn，使得 f = a(x-c1)(x-c2)...(x-cn)。
5. C[x] 中 irreducible 的多項式只有一次多項式。
6. f 屬於 R[x]，若複數 u 是 f 的一個根，則 u 的共軛複數也是 f 的根。
7. f 屬於 R[x]，則 f 在R[x] 中 irreducible ，若且惟若 deg(f) = 1，或 f 為二次多項式，且判別式小於零。
8. Gauss Lemma：
   f = gh 屬於 Z[x]，若有一質數 p 整除 f 的每一項係數，則 p 整除 g 的每一項係數，或者整除 h 的每一項係數。
9. f 屬於 Z[x]，deg(f)>0，若 f = gh，g,h 屬於 Q[x]，則 f = g0h0，其中 g0,h0 屬於 Z[x] ，且為原本的 g,h 之常數倍。
   也就是說，一個整係數多項式若可以有理分解，則必可整係數分解。
10. Eisenstein Criterion：
    若 f 為一次以上的整係數多項式，且存在某質數 p，使得 p 不整除首項，p 整除首項後的每一項，p^2 不整除常數項，則 f 無法有理分解。