【複變】筆記一

一、複數

1. 我們重新將複數定義為 ( R^2, +, * ) ，其中 * 為一個特殊的乘法，運算結果為 ( 配對相乘後相減 , 交叉相乘後相加 )。
2. 複數是一個有序數對，也就是說除非兩座標相等，否則座標調換後為另一個複數。
3. 實數可視為第二個座標為零的複數，而複數之運算也可視為實數之推廣。
4. 若複數 z =(x,y) ，則 x 稱為 z 之實部 Re(z) ，y 稱為 z 之虛部 Im(z)。注意：實部與虛部皆為實數。 
5. 兩複數相等，即兩者座標相等，即兩者實部與虛部相等。
6. 我們通常用 1 表示 (1,0) ，用 i 表示 (0,1)，因此 z = (x,y) = x+ iy。
7. 若複數 z = (x,y)，則 -z = (-x,-y)，1/z = (x/(x^2+y^2), -y/(x^2+y^2))。
8. 複數是一個 field 。
9. 兩複數無法比較大小。
10. 複數 z =(x,y) 的長度( modulus ) |z| 即 z 在複數平面上到原點之距離 (x^2+ y^2)^(1/2)。
11. 三角不等式：兩複數長度的差 <= 兩複數之和或差之長度 <= 兩複數長度的和
12. a+bi 之共軛複數為 a-bi ，為一長度相等角度相反(差一負號)之數。
13. 一複數與其共軛相乘 = 此複數長度之平方。
14. 先做運算再取共軛 = 先取共軛再做運算。
15. Re(z) = (z + z_)/2 、 Im(z) = ( z - z_ )/2i。 (以底線表示共軛)
16. z = a+bi 的極座標：r(cosx + isinx) = r(cisx) = r exp(ix)，其中 r 為 |z|，x 為 z 與實數軸之夾角。
17. 複數 z 極座標之角度可有無窮多種選擇，而兩種角度皆相差 2n(pi)，這些角度所成的集合稱為 z 之 argument，寫做 arg(z)。我們在 arg(z) 中選定大於 -pi 小於等於 pi 者稱之為 principle branch of arg(z)，寫做 Arg(z)。因此， arg(z) = Arg(z) + 2npi
18. 複數相乘為長度相乘，角度相加。

二、數列

1. 若一個複數數列 zn 存在一複數 z* 使 | zn-z*| 收斂到零，則稱 zn 收斂至 z*。
2. 一個複數數列收斂若且惟若其 實部及虛部皆收斂。
3. 複數有完備性：科西列必收斂。( 由 2 及實數完備性可知。 )
4. 複數中的緊緻集 = closed & bounded。
5. 一個 open & connected 集合稱為 rigion。
6. 當一個複數列的絕對值發散到無窮大，我們稱此數列趨近無窮大。

三、複變數函數

1.  f 為一複變數函數，若對點 w 的任意 nbhd ，皆能找到一點 z 之 nbhd (不含 z)，使此區域內任意點經過 f 作用，皆落在 w 之 nbhd 中，則我們說 f 在 z 的極限為 w 。
2. 複函數加減乘除後的極限，會等於極限的加減乘除。
3. 在複數中，趨近於無限可視為長度趨近無限，我們令 e 為一任意正數，取複平面上長度大於 1/e 的區域，稱此區域為無限大的 e nbhd，使用此種 nbhd 即可定義複變函數中與無限相關的極限。
4. 若一函數 f 逼近無限，等價於其倒數 1/f 逼近於零。求 z 逼近無限時函數之極限，等價於求 1/z 逼近於 0 時函數之極限。
5. 若 f = u+ iv，其中 u,v 為二變數實值函數， 且 w = x+iy。則 f 在 z 的極限為 w ，若且惟若， u 在 z 的極限為 x ， v 在 z 的極限為 y 。也就是說，複變數函數的極限可視為實部函數與虛部函數的組合。
6. 當極限值等於函數值稱為連續。
7. 若 f = u+iv，則 f 在 z 連續，若且惟若 u, v 在 z 連續。
8. 連續函數之和成函數仍連續。
9. 若 f 在 z 點連續，且 f(z) 不為零，則存在一個 z 之 nbhd ，裏頭所有典之函數值皆不為零。
10. 若複變數函數 f 定義在一 closed, bdd set ，且 f 連續，則 f 有界。
11. 若一個二變數多項式可寫成 (x+iy) 的多項式，則稱此函數為可解析多項式。在此情形此多項式可寫成一個複數的多項式。
12. 若 P(x,y) = P(x+iy,0)，則 P 可解析。
13. 一個複變數函數可寫成：f = U + iV，其中 U、V 為實值函數。
14. 一個二變數多項式 P(x,y) 可解析，若且惟若 Py = i*Px。
15. 一個複變數函數的微分定義與單變數函數相同，為割線斜率的極限，此時導數可以視為長度的變化率和變數角度與函數值角度間固定的差，也就是說，若 z 點之導數為 r * cisx，則 z + h ，(h =  |h|cisy) 會使函數值長度增加 |h|*r，函數值角度變為 x+y。
    而做偏微分時，將函數視為二變數函數，因此未考慮分母之角度，然而 x 方向正好為零度角，因此得到結果會與導數相同；而 y 方向做偏微時，則是以 90 度角作為基準角度，因此結果與導數相比多了 90 度。因此可得出 f' = fx = fy/i。
    實變數微分的許多性質會保留。
    
16. 一個複變數多項式可以微分，且導數等於逐項微分的結果。
17. 複變數函數微分之四則運算與鏈鎖律與實變數函數相同。
18. 一 R^2 至 R^2 之函數之可微定義為是否能找到一線性變換使一特殊極限等於零，若可微則此線性變換可寫成一 2*2 矩陣，尤其分量函數之偏微分構成。
19. 一 R^2 至 R^2 之函數在一點可微，若且惟若其兩個分量函數皆在該處可微。
20. 若一 R^2 至 R^2 之函數在一點可微，則其分量函數之偏微分在該點皆存在。
21. 若一 R^2 至 R^2 之函數，在某點兩個分量函數之一階偏微分皆存在且連續，則此函數在該點可微。(逆命題不成立。)
22. 一個複變數函數 f = U+iV 可微，若且惟若其對應之二變數向量函數 F = (U,V) 可微且滿足 C-R eq。
23. 若一可微複變數函數，其值域為實數或純虛數，則其微分必為零。

1. 一個複數的冪級數 (power series)，為 (Ck)*(Z^k) 其中 k 由 1 到無窮大的加總。
2. 一個數列的 limsup ：
1. 最大的聚點
2. 比 limsup 大一點點之後就只有有限數列點
3. 利用 root test 及 ratio test 可知一冪級數是否收斂。
4. 對 |Ck| 使用 root or ratio test ，其 limsup 之倒數稱為冪級數的收斂半徑，長度在收斂半徑內的複數帶入冪級數後會使整體的 root or ratio test 之值小於一，因而收斂。
5. 冪級數在收斂半徑內可微，並等同於逐項微分的冪級數，而其導函數具有相同的收斂半徑。
6. 冪級數在其收斂點中無限次可微。
7. 若冪級數有非零的收斂半徑，則可以由零點泰勒展開找出各項 Cn 之值。
8. Uniqueness thm for power series： 
   若一冪級數在一收斂至零的非零數列上函數值皆為零，則此冪級數即為零。
9. 若一冪級數在某零是一個聚點的集合上函數值皆為零，則此冪級數即為零。
   (根據冪級數的連續性，常數項必為零，將整個及數除以 z，重複動作可得。)
10. 若兩冪級數在某零是一個聚點的集合上皆收斂且函數值相同，則此兩冪級數相同。

1. 若 f = U+iV 在 z 點可微，則在該點的偏微分存在，且滿足 Riemann-Cauchy equation：
1. fy = ifx，or
2. Ux = Vy  且  Uy = -Vx  。
2. 若 f 在 z 點的某個 nbhd 中偏微分存在且連續，並滿足 CR eq 則 f 在此點(複數)可微。
3. 若對函數 f ，點 z 存在一個 nbhd (open) 其中所有點皆可微，則稱 f 在 z 點可解析 (analytic)，若一個函數在整個複數上皆 analytic ，稱此函數為 entire。
4. 一個 rigion 為一 open connected subset of C。
5. 若 f = U+iV 在一個 rigion 上可解析，且 U 是常函數，則 f 也是常函數。
6. 若 f 在一 rigion 上可解析，且 |f| 為常函數，則 f 為常函數。

1. 在複數上可定義 exp 函數為：
   
   
   exp(x+iy) = exp(x)( cosy + isiny ) =  exp(x)cisy
   
   exp 是一個 entire 函數，且滿足變數相加等於函數值相乘的對應。
   且具有以下性質：
1. 在實數上與 exp 相同。
2. |exp(x+iy)| 等於 exp(x)。 
3. exp(z) 不等於零。
4. exp(iy) = cisy。
5. exp(z) = a !=0 有無窮多組解。
2. 利用 exp 我們可以定義出三角函數：
   
   
   cosz = [ exp(iz) + exp(-iz) ] / 2
   
   
   sinz  = [ exp(iz) - exp(-iz) ] / 2i
   
   在此定義下的三角函數帶入實數時與原本相同，而帶入複數之函數值不再限制於一到負一之間。

1. 我們稱一個函數 f：[a,b] -> R 為 C1 函數，若是 f 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可微，且 f' 在 (a,b) 連續。
2. 定義在某閉區間的 f = U+iV ，則 f 的積分定義為：積U + i積V。
3. 定義在某閉區間的 f = U+iV，我們說 f 是一個 piecewise C1 曲線，當 f 在閉區間連續，且除了有限點之外都是 C1 函數。
4. 定義在某閉區間的 f = U+iV 若是一條複數平面上的曲線，則此曲線長度為：| f'(t) | 對 t 的積分。
5. 若 z ：[a,b] -> U 是複數平面上一條 piecewise C1 曲線，而 f：U -> C 在曲線上任意點皆連續。則：
   
   
    f 在曲線 z 上的積分定義為：f(z(t))*z'(t) 在 [a,b] 上的積分。
   
   積分為定義域中的小段線段長，乘上對應域中的函數值。因此在複變數複函數上為兩個複數相乘，而在此，定義域中的小段線段即是 z'(t) dt ，函數值則為 f(z(t))。
   此結果可由均值定理及黎曼積分得出。
6. z：[a,b] -> C、w：[c,d] -> C 為複數平面上兩曲線 c1、c2，若是存在一個 1-1 C1 函數 f：[c,d] -> [a,b]，使得 f(c) = a、f(d) = b、f'>=0，且 w(t) = z(f(t))，則稱 f 為 c1、c2 間的 C1-equivalence。
7. 若是兩曲線間 C1-equivalent ，則在此兩曲線上積分結果相同。
8. 線積分方向相反，則差一個負號。
9. 若 z(t) , t 屬於 (a,b)，為曲線 C ，則定義 z(a+b-t) 為曲線 -C
10. 線積分是線性運算。
11. 線積分完取絕對值，小於等於取絕對值再線積分。
12. ML inequality：
    若一 piecewise-C1 曲線長度為 L，一函數 f 在此曲線上連續，且 | f | <= M，則 f 在此曲線上積分後的長度小於等於 ML。
13. 若 fn 為連續函數，且在曲線 C 上均勻收斂至 f ，則 fn 在 C 上的線積分會收斂至 f 在 C 的線積分。
    (均勻收斂將函數值僅僅壓制住，因此可保證積分收斂，然而均勻收斂卻無法控制斜率，因此無法保證微分收斂。)
14. Fundamental thm of line integral：
    若 f 為可解析函數 F 的導函數 ( f = F' )，且 F 在曲線 C 上可解析，則 f 在 C 上的線積分等於 F(z(b)) - F(z(a))，其中 C : z(t)，a<=t<=b。
    
    也就是說一個函數若是一個 entire 函數，則其導函數的線積分與路徑無關，只與起點及終點有關。

1. 若一曲線 C : r(t)，a<=t<=b ，其 r(a) = r(b)，則稱之為一個 closed curve。
   若曲線 C 上重疊的點只有頭尾(不一定要重疊)，則稱之為一個 simple curve。
2. 一個複數中的長方形是由兩條平行實數軸的線及兩條平行虛軸的線圍成的閉集合。
3. 若 f 是一個 z 的一次多項式，則 f 在一個長方形的邊界上的線積分為零。(By FTL)
4. Rectangle thm：
   若 f 在一 region 上可解析，則在此 region 中任意長方形的邊界，f 做線積分的結果皆為零。
5. Integral thm：
   若 f 在 Br(z0) 上為一可解析函數，其中 r 大於零，則在 Br(z0) 存在一可解析函數 F，使得：F' = f。
   做法為，定義 F(z) 為 f 由原點先走到 Re(z) 再走到 z 的線積分，利用長方形定理可以證明 F' = f。
6. closed curve thm：
   若 f 在 Br(z0) 上為一可解析函數，r 大於零，且 C 為其中一 piecewise C1 closed curve，則 f 在 C 上之線積分為零。
7. 若 f : Br(z0)->C 是一個連續函數，且對 Br(z0) 中任意長方形線積分皆為零，則：
1. Br(z0) 中，存在 F 使 F' = f 。
2. Br(z0) 中，f 對任意 closed curve 線積分皆為零。 
8. Rectangle thm 2：
   若 f 在 Br(z0) 上為一可解析函數，r 大於零，a 為其中一點，定義 g(z) 為 a 到 z 的割線斜率，也就是說：g(z) = f(z)-f(a) / (z-a)，而當 z 等於 a，g(z) 就為 f'(a)。則 g 在 Br(z0) 中任意長方形邊界的線積分皆為零。
   因為 f 可解析，因此 g 會是一個連續函數(a 點導數存在)，因此 g 的值域 cpt，g 有上界，利用 ML 不等式及長方形定理即可證明。
9. 若 Cr 為一以 z0 為圓心、半徑為 r 的圓，且 a 點在此圓中，則 1/(z-a) 在 Cr 上的積分值為 2拍i。
10. Cauchy integral formula：
    若 f 在 Br(z0) 上可解析，其中 r 大於零，若 a 在此圓中，而 C 為一以 z0 為圓心，半徑為 R 的圓，使得 C 落在 Br(z0) 中且包住點 a ，則 f(a) 等於 f(z)/z-a 在 C 上的積分值除以 2拍i。
    利用第二長方形定理，f 在 a 點的割線斜率函數積分為零，拆開即可得。
11. Taylor expansion：
    若 f 在一個圓內可解析，則可在此圓內做泰勒展開。