筆記

一個非空集合 S  countable，等價於： (1)存在由 S 到正整數的一對一函數 (2)存在由正整數到 S 的映成函數 countable 個的 countable set 聯集仍然 countable countable set 的 finite product 仍然 countable 實數中的任意區間皆不 countable

path VS trail 在一個 graph 中，我們將相鄰的頂點一個個連接起來，形成一個頂點序列，若其中每個頂點只出現一次，這就是一個 path 。 trail 是 path 的推廣， 我們將相鄰頂點一個個連接起來，形成一個頂點序列，若此序列沒有重複使用任一條 edge，則這個序列就是一個 trail。 由定義可知， 一個 path 必定也是一個 trail ，因為頂點不重複的 path ，其連線必定也不會重複；然而 trail 不一定是個 path ，因為 trail 可能使用了同一個頂點的兩條以上連線，如此一來就會造成該頂點重複。 然而我們可以經由修剪 trail 序列而造出 path 序列，只要將 trail 中重複的頂點之間的所有頂點去掉，例如：a-b-c-d-e-b-f   ->   a-b-f，直到序列中沒有重複的頂點即可 ，我們可以發現這個過程並沒有改變序列中任何頂點的鄰居，因此序列中相鄰的頂點仍然會是 graph 中相連的頂點。 簡單的說： path 不允許頂點重複； trail 不允許連線重複。

planar graphs 若一個 graph G 可以畫出一個兩兩 edge 不相交的平面圖，則我們說他是一個 planar graph。而這種不相交的畫法就稱為 G 的 plane graph。 一個 planar graph 可以有許多 plane 畫法。

Def：invariant subspace 若 T 為作用於 V 的線性算子(本文的 V 皆假設為有限維向量空間)，W 為 V 的子空間，且 T(W) 包含於 W，則我們說 W 是 T 作用下的的不變子空間 (T-invariant subspace)。 不變子空間中的元素經過線性變換後，仍會留在原本的子空間中，特徵空間正具有這樣的性質，因為其中向量經過線性變換只會有倍數的改變，因此當然落在原本的特徵空間之中，不僅是特徵空間，由任意幾個特徵向量織成的空間也具有此性質，因為經過線性變換後，其中的向量仍會是這幾個特徵向量的線性組合。 其他不變子空間：零空間、Range、Null、V。 *特徵空間與不變子空間： 特徵空間的每個向量經過線性變換後會乘上同一個倍數，而不變子空間的向量經過線性變換後，僅保證結果會是其基底的線性組合。

科布 <<邁向建築>> 現代主義建築是一場工程師與傳統建築師的對抗，當工業時代來臨，各種發明傾巢而出的同時，建築在這場革命中卻是缺席的，當各種新材料與技術出現，而建築學院裡所談的仍然是各種樣式、如何建出裝飾華麗的城堡與宮殿。 科布認為 " 應該使建築如同輪船、飛機與汽車一般地健全、合理、果斷、和諧、與完美。" 現代主義捨棄過去建築師所追逐的虛華矯飾，而將建築視為" 居住的工具 "，並期望建築同時展現出功能、協調、與美。科布認為建築所需要的是工程師的思維，工程師的腦袋裡想的是如何解決問題，透過計算與構想，他們知道如何完成一個適宜人居建築所該擁有的功能。 現代主義的審美觀嚮往【工程美學】，一種簡潔有力，捨棄掉無謂的裝飾，而顯露出內在工程思維的美，正如同數學公式一般，在現代主義眼中，簡潔的幾何形狀等清晰且明確的意象才應該是建築最主要的元素。

Matching：配對 配對問題通常由兩組具有關係的頂點組成，也就是說，所有第一組的頂點都只與第二組的頂點形成配對，而同一組內沒有任何的配對 (我們稱這樣的圖形為  bipartite graph )。而在配對問題中，我們的目標是： 找到一個將兩組頂點一對一配對的方法，或證明這不可能 。