【代數】筆記二
一、拉格朗日定理
- coset：
若 H 是群 G 的子群， g 為 G 中元素，則稱 Hg 為 H 包含 g 的 right coset 。
其中 Hg 即是 H 每個元素 h 與 g 相乘 (hg) 所成的集合。
(若是改變乘法方向則為 left coset。) - 若 a,b 落在 H 的同一個 right coset ，則 a = hb，h 屬於 H。
- H 的所有 right coset 會形成 G 的一個分割 (partition)。
(因為單位元素在 H 裡， G 裡的任一個元素必定在某個 coset 當中...) - 若 H 為有限子群，則 H、Hg、gH 中的元素個數相同。
- 拉格朗日定理：若 G 是一個有限群，而 H 是一個子群，則 |H| 必整除 |G| 。
( |為集合元素個數之符號| ) - index of H：|G|/|H|，在 G 之中 H 不同的 right coset 的個數。
- 若 G 為有限群，則任意元素之 order 可整除 G 的元素個數。
(任意元素皆可形成一個循環子群，拉格朗日定理) - 若是 |G| = n，則 G 中任意元素的 n 次方皆為 1。
- 若是 |G| 為質數，G 必為循環群。
- 尤拉函數 f(n) = 比 n 小且與 n 互質的正整數數量。
f(質數 p) = p-1。
f(兩質數相乘 p*q) = (p-1)*(q-1)。 - f(n) = |Zn*|。
- 尤拉定理：a 的 f(n) 次方同餘 1 (mod n)，只要 a 與 n 互質。
- 費馬小定理：a 的 p-1 次方同餘 1 (mod p)，只要 p 是質數且 a 不是 p 的倍數。
二、正規子群
- H 是 G 的子群，若對任意 g 屬於 G，Hg = gH，則 H 是 G 的一個正規子群。
- 若一個子群的 index 是 2，必為正規子群。
(這個子群只會形成兩個 coset ，一個是自己，一個是自己的補集。) - 如果 G 可交換，則任何子群都是正規子群。
- 正規測試：若 ghg-1 屬於 H ，則 H 為正規子群。
( 對任意 h 屬於 H ，g 屬於 G ) - 只要 H 的生成元通過 G 的生成元的正規測試，H 就是 G 的正規子群。
- 若 Sn 的正規子群包含某種 cycle type 的元素，就必須包含此 type 的所有元素。
- Sn 的子群必包含偶置換，因為奇置換間不具封閉性。
三、Factor group
- 若 H 是 G 的正規子群，a ,a' 落在 H 的同一個 coset 中，b ,b' 也落在同一個 coset 中，則 a*b , a'*b' 也會落在同一個 coset 中。
- 若 H 是 G 的一個正規子群，則定義 g_ = 包含 g 的 H coset。
並且定義 a_*b_ = (a*b)_，兩個 cosets 的運算等於代表做運算後所屬的 coset。 - factor group：
若 H 是 G 的正規子群，則 H 的所有 cosets 使用以上定義的運算會形成一個群。 - Zn 是一個 factor group。
- An 可以被 3-cycle 生成
- Sn 中 index 為 2 的子群只有 An。
- 由 g_ 的定義可以發現：將 g 送到 g_ 的函數是一個映成同態映射。
- 若 G 可交換，則 G 的任意 factor group 亦可交換。
- 若 G 為循環群，則 G 的任意 factor group 亦為循環群。
四、 isomorphism 定理
- 若 a 是一個由 G 到 K 的同態映射， 則：
- a 的影像為 a(G) = 所有 G 中元素所能映射的元素。
- a 的 kernal 為 ker(a) = 所有映射至單位元素的 G 中元素。
- a(G) 為 K 的子群。
- ker(a) 為 G 的正規子群。
- a(x) = a(y)，若且惟若 x, y 落在 ker(a) 的同一個 coset 中。
- a 為一對一映射，若且惟若 ker(a) = {1}。
- 可以把一個群的同態映射看成，由 kernal 的各個 coset 映射至對面的不同元素。
- 一個子群正規，若且惟若它是某個同態映射的 kernal。
- isomorphism 定理：
若 a 是一個由 G 到 K 的同態映射，則 a'：由 G/ker(a) 映射至 a(G)，且令 a'(g_)映射至 a(g)，則 a' 是一個同構映射。
六、子群的乘積
- 若 H、K 為群 G 的子群，則 HK 為 H 中元素乘上 K 中元素 所成之集合。
- |HK| = |H||K| / | H、K 之交集|。
- 以下三點等價：
- HK 是 G 的子群。
- HK = KH。
- KH 是 G 的子群。
- 若 HK 為 G 的子群，則 HK 為同時包含 H、K 的最小子群。
- 若 H 或 K 為正規子群，則 HK = KH ，HK 為子群。
- 若 H 與 K 皆為正規子群，則 HK 亦為正規子群。
- 若 H 與 K 皆為正規子群，且 H、K 交集為 {1}，則：
- hk = kh，對任意 k 屬於 K，h 屬於 H。
- HK 同構於 H x K。
- correspondence thm：若 K 是 G 的一個正規子群，則：
- 若 H 是 G 的子群且 H 包含 K，則 H/K 也會是 G/K 的子群。
- G/K 的子群必定是某個 H/K，且其中 H 是 G 的子群，H 包含 K。
- 包含 K 的所有子群與 G/K 的所有子群間有著 H 與 H/K 之間的雙射對應。.
- 若 H、F 皆為 G 包含 K 的子群，則：
- H 包含 F，若且惟若 H/K 包含 F/K。
- H 為 G 的正規子群，若且惟若 H/K 為 G/K 的正規子群。
- third isomorphism thm：
若 K 是 G 的正規子群，而 H 是包含 K 的正規子群，則 G/H 會同構於 (G/K)/(H/K)。
七、Group action (群運算)
- 若 X 是一個集合，G 是一個群，則一個作用在 X 上的群 G 運算 * 指的是一個由 G x X 映射至 X 的二元運算，並滿足以下性質：
- 1*x = x，1 對任意 X 裡的 x 做運算皆不造成改變。
- 若 g, h 屬於 G，x 屬於 X ，則 g*(h*x) = (gh)*x。
- 若 X 有一個 G 的群運算，則稱 X 為一個 G set。
- 若 X 是一個 G set，x 是 X 中的元素，則 x 的 orbit Gx 定義為 G 的所有元素作用於 x 所得之集合，而這些 orbit 會形成一個 X 的分割。
- 若 y 在 x 的 orbit 之中，則 x 的 orbit 等於 y 的 orbit。
- 若 X 是一個 G set，則 x 的 stablizer S(x) 為 G 中所有不會改變 x 的元素所成的集合。
- S(x) 會形成一個 G 的子群。
- g*x = h*x，若且惟若 g ,h 在 S(x) 的同一個 left coset 中。
- orbit stablizer thm： |Gx| * |S(x)| = |G|。
- orbit decomposition thm：
若 X 是一個 G set，則 X 的元素數量等於：X 中那些 orbit 只有自己的元素的個數，加上其餘各 orbit 中的元素個數，其中各 orbit Gxi 的元素個數又可寫成 |G| / |S(xi)|。 - 若 X 是個 G set，則對 G 中任意 g ，gX 會是 X 的一個置換，也就是說 cg：由 X 映射至X，將 x 對應至 g*x ，會是一個雙射。
且由 G 對應至 Sx，將 g 映射至 cg 的映射會是一個同態映射。 - Cayley's thm：
任意有 n 個元素的群皆有一個對應至 Sn 子群的同構映射。
八、Cauchy's thm
- 考慮 G 對自己做群運算，將 x 映射至 gxg-1，則 x 的 orbit 稱為 x 的 conjugate class，記為 class(x)。而 x 的 stablizer 則是 G 中所有和 x 可交換的元素所成之集合，也就是 {x} 的 centralizer (normalizer)，記做 N(x)。
- 集合 S 的 centralizer 為和集合 S 中任意元素皆可交換的元素集合；而 S 的 normalizer 則是對 S 做 conjugate 仍得到 S 的元素集合。當 S 只有一個元素時，這兩個集合相等。
- 在此種群運算下，若 x 的 orbit 只有自己本身，則 x 與 G 中所有元素都可交換，因此 x 就屬於 G 的 center Z(G) 中，也就是說 orbit decomposition thm 可以改寫成：|G| = Z(G) + 其餘的 class(xi)
- Cauchy thm：
令 G 為一有限群，若 p 是一個可以整除 |G| 的質數，則 G 中必找得到 order p 的元素。 - p-group：
若一個群中每一個元素的 order 皆為質數 p 的次方，則稱此群為一 p-group。 - G 是一個 p-group 若且惟若 |G| 是 p 的某次方。
- 若 G 是一有限 p-group，則 Z(G) ! = {1}。
- 若 |G| = p^2，則 G 為可交換群，且同構於 Zp^2 或是 Zp*Zp。
- 令 p 為一個大於二的質數，若 |G| = 2p 則 G 同構於 Z2p 或是 Dp。
九、Sylow thm
- 若 G 是一個 p-group ，而 X 是一個 G-set，則那些只有一個元素的 orbit 的數量 |Xf| 同餘於 |X| (mod p)。
- 若 H 是 G 的 p-subgroup，考慮 H 作用於 H 在 G 中的 cosets，由上一個定理可得 | N(H) : H | 同餘於 | G : H | (mod p)。
- First Sylow thm：
若 |G| = m*p^n ，其中 m 不能被質數 p 整除，則： - 對任意正整數 i 小於 n ，都可在 G 中找到 order 為 p^i 的子群。
- 對任意正整數 i 小於 n-1，一個 order p^i 的子群會 normal 於某個 order p^i+1 的子群。
- Sylow p-subgroup：最大的 p-subgroup。
- Second Sylow thm：
若 H1、H2 為有限群 G 的兩個 Sylow p-subgroup，則存在某個 g 屬於 G 使得gH1g-1 = H2。也就是說任兩個 Sylow p-subgroup 有 conjugation 的關係。 - Third Sylow thm：
若 |G| = m*p^n，其中 m 不能被質數 p 整除，則 G 的 Sylow p-subgroup 數量同餘於 1 (mod p)，並且可整除 m 。 - 若 m、n 互質，則 Zm*Zn 同構於 Zmn。
- 若一個群的 normal subgroup 只有他自己和 {1}，則稱之為 simple group。normal group 是我們用來將一個群拆解常用的方法，因此這是一些難以分解的群，不過其所有的種類已被找出來。
- 在一個已知 order 的群中找 normal subgroup：
- 使用 Third Sylow，若有某 Sylow p-subgp 數量少於二，則 normal。
- 找到一個 homomorphism ，則其 kernal 必 normal。可利用 group action 對應到置換的 hom.。
十、可交換群
- 若 G 是一個可交換群，且 |G| = n 有 p1、p2 ... pr 等質因數，則存在 H1、H2 ... Hr，使得每個 Hi 為 G 的 Sylow pi-subgp，且 G = H1H2...Hr 並同構於 H1*H2*...*Hr。
- 若 G 是一個可交換 p-group ，且 g 是 G 中 order 最大的元素，則存在一個 G 的子群 K，使得
交集 K 為{1}，且 G = K 同構於 *K。 - 由上一個定理可得，一個可交換 p-group 可以分解成數個循環群相乘，而此種分解方式只有一種。
- Fundamental thm of finite abelian group：
任意有限可交換群必同構於某些 order 為質數次方的循環群之乘積，且此分解方式唯一。 - 若 G 是一個有限可交換群，則對 |G| 的任意因數皆可找到 order 為此因數的 subgp。
- 若一個群中任意元素的平方等於 1 ，則這個群可交換。
留言
張貼留言