筆記

群和集合之運算： group通常在自己的元素之間，做自己定義中的運算。 但現在我們要將group中的元素和其他【集合】中的元素做運算， 而運算的結果落在該【集合】之中。 map *：G x X  ==> X  當滿足以下性質： ( e 是 group 中的單位元素，g1, g2 屬於 G，x 屬於 X ) ex = x  ( g1g2 ) x =  g1 ( g2 x ) 我們說 X 是一個 G-set 這樣看起來，這個運算可以看成是 X 集合的重新排列， 每一個 G 中的元素都對應到一組重排 ，而我們並沒有規定每個 G 中的元素應該對應到不同的排列方式，也就是說我們甚至可以讓每個 g 屬於 G 都和 e 對應到一樣的排列：保持原樣。 然而，X 的排列方式不一定比 G 的元素多，假設 Sx 代表 X 所有排列方式的集合，當他的元素比 G 少，那麼在分配排列給 G 中的元素時，就會有好幾個 g 分到同樣的排列，合理懷疑這樣的分組，會形成factor groups，而 G 到 Sx 的映射是一個homomorphism。 #### 證明 f：G 到 Sx 是同態映射，我們必須證明先運算再映射會等於先映射再運算： f (g1) f(g2) = f (g1g2) 然而在這裡Sx只是我們的中間產物，我們必須透過上面的定義來檢驗此等式 ( f (g1) f(g2) ) x = f (g1) ( f(g2) x )   = 先經過 f (g2) 的排列之後，再做 f (g1) 的排列 = 先經過 g2 的運算之後，再做 g1 的運算 = g1 ( g2 x )  = (g1 g2) x = f (g1g2) x  (得證) 經過這個證明， 我發現對於 x 而言，g 與 f (g)，根本就是一樣的東西 ，代表的都是重新排列，唯一的差別在於，g 是雜亂未經整理的，不同的 g 可以代表同樣的排列，而 f (g) 是將這些雜亂的東西過濾，留下的純粹的排列，也就是說 f (G) 是這個運算中不重複的所有的可能。 若是對於任意 x1, x2 屬於 X ，都存在 g 屬於 G

同態到同構： 在同態的筆記中，我們發現，同態映射會造成某種縮減 ( 造成多映射到少，由 kernal 所造成 )，而我們現在創造一個新的 group ，將這些會對應到同一個元素的東西進行包裝，包裝成新的 group 中的元素，再定義運算的規則，於是乎，我們將原本的同態升級成了同構。 normal subgroup： 當 H 為 G 的 subgroup，而對於 G 中任意元素 a 而言，h 屬於 H，若是：   a'ha 屬於 H       (a' = a的反元素) 或是     a'Ha = H       或是 aH = Ha 則稱 H 為G的 normal subgroup #### factor groups： 在一個 group G 中，我們可以找一個 normal subgroup H，來為G進行分組，而形成一個新的group： G / H，這個 group 由 H 和 G 中的元素做運算所組成， 如： aH, bH,  a,b屬於G 而  G / H 這個 group 中的運算就定義成： (aH)(bH) = (ab)H 我們說這個 group 是 G 的 factor group by H 可以想像若原本 G 是一塊長方形， 則 H 將他切成一條一條，原本在 G 中，兩點運算會對應到另一點；但在 G / H 中，變成兩條線 L1, L2 的運算對應到另一條線 L3，而且 L3 由 L1, L2 上的【任意點】做運算對應到的點所在的線所決定，也就是說，兩條線中任意點的運算，所對應到的點都會在同一條線上。 也就是說，我們使用  normal subgroup 進行分組之後，每一組裡的任一成員都能完整代表整個組，也就是說相對於分組的條件而言，組內雖然有許多不同的元素，但其本質都是相同的 ( 面對分組條件會產生相同反應 ) 而在同態映射的例子中，我們選用 kernal 作為 H，因此  factor group 就可以和原本的值域有isomorphism的映射。( 原本若是多對一就會被 H 吃掉 )   G 到 G / H 也是一個 homomorphism ： f (a) = aH  ,  

homomorphisms：同態   =>  同構(isomorphism)的弱化 當 我們說兩個group同構或同態時，我們所指的是： 在兩個grooup之間的某個滿足某些條件的 函數關係 。 . . . 而 同態 所指的是，兩個群(group) < S ,* >、< S' ,*'> 之間存在這樣的映射：   f (x * y) = f (x) *' f (y) , 對所有 x, y 屬於 S  ( 對定義域裡所有的元素而言，不論先做運算再做映射， 還是先做映射在做運算，都會得到相同的結果， 殊途同歸 。 ) 而 同構 的定義即是將上述定義中的的函數 加上一對一及映成 兩個條件。 . . . #### 可以 發現在等式的兩邊，所做的運算屬於不同的群 (* ,*')，因此我們可以利用這個等式 來檢驗兩個群中運算符號的性質。 同態保證了： 元素經過運算所造成的改變，在函數的另一頭一定找的到對應的改變。 元素只對該同態映射所揀選的性質，在另一頭作出反應 ==>同態映射只挑選了某些性質進行對應 例如：trivial homomorphism    f (x) = e' , 對任何 x 屬於 S 。 這個函數中沒有挑選任何性質， 就像是函數戴上黑色的眼鏡，不接收顏色的資訊，如此一來，所有的調色在函數另一頭都是一片黑暗。 . . . 例子： 加法整數群與< 0 1 2 3 ... n, + >  ( n+1=0 ) 同態映射：f (x) = 對 x 取 n+1 的餘數 可以由高中數學的同餘關係證明，這是一個同態映射， ( 這個映射所挑選的性質是 n+1 的餘數， 由此可見餘數與右邊那類的 group 有相同的性質，例如循環 ) . . . Thm ： 對每一個從G到G'的同態映射而言 1. G裡的 identity 將會映射至 G' 裡的  identity 2. 元素與反元素的關係到了函數另一頭仍然存在 3. 定義域的一個 subgroup 經過映射後，也會是對應域的一個 subgroup 4.  對應域的一個 subgroup 經過反映射後，也會是定義域的一個 subgroup 綜合來說，經過同態映射後， 單位元素、反元素、子群的性質會保留。 . .