筆記

f：A->R 的黎曼積分：若 A 是 Rn 的有界子集，且 f 有界 將 f 擴展至一包含 A 的立方體 B 中，將 A 以外的點設為0。 對 B 做 partition P 得到上和與下和 對任意 partition 得上積分下積分 上下積分若相等則得黎曼積分 黎曼條件 ：f 黎曼可積，若且惟若對任意誤差 e，皆可 找到一 partition 使上下和之差距小於 e。

一、PID 若 F 是一個體，則 F[x] 的任意 ideal 皆 principle。 整數的 ideal 皆 principle。 一個定義有除法的 integral domain 只會有 principle 的 ideal。我們將這種 domain 稱為 principle ideal domain (PID) 。因此對體 F 而言，F[x] 也是 PID。 F[x]/< h> 中的元素為 deg 比 h 小的多項式所代表的 coset。   若 F 為一體，h 為 F[x] 中次數大於一的多項式，則以下三點等價： F[x]/< h> 是一個體 F[x]/< h> 是一個 integral domain h 在 F[x] 中不可分解 若 R 是一個  PID ，p 是 R 中一個非零非 unit 元素，則以下等價： (在一般的 integral domain 中，往下推是正確的，而 PID 使得往上推也可行。) < p> 為 max ideal R/< p> 是個 field < p> 為 prime ideal R/< p> 是個 integral domain p 是 prime p 不可分解