筆記

Weirestrass thm： f：[0,1] -> R 為一連續函數，則不論多近的距離 e ，皆存在一多項式 p ，使得 || f-p || < e，也就是說， 可以用多項式逼近任意 C([0,1],R) 中的函數。 [a,b] 中的多項式也在 C([a,b],R) 中 dense。 Stone-Weierstress thm： 若 A 為某距離空間中的一個緊緻集，若 B 包含於 C(A,R) 且滿足以下條件，則 B 在 C(A,R) 中也會 dense 。(也就是說 B 的 closure 等於 C(A,R))： B 中函數作加法、乘法及係數積具有封閉性。 B 包含常函數。 對 A 中任意兩不同點，存在 B 中一函數，使得此兩點函數值不同。 Abel's test： 若 fn 級數均勻收斂 ， gn 隨著 n 增加而單調遞增或遞減 ，且存在常數 M 使得對任意 n 及變數 | gn | < M ，則 gn*fn 之級數亦均勻收斂。 Dirichlet's test： 若存在 M 使得對任意變數及 n， fn 的部分和 |sn| <= M ，且 gn 隨著 n 增加而均勻遞降到零 ，則 fn*gn 之級數會均勻收斂 由 root test 之倒數得到冪級數的收斂半徑，在收斂半徑內冪級數絕對收斂，半徑外則發散。 冪級數在其收斂半徑中無限次可微，微分後具有相同收斂半徑。

若 f：U->C 在開集合 U 中可解析，則 f 在 U 中無限次可微。 若 f 在開集合 U 上可解析，則對 U 上一點 a，到 a 點的割線斜率函數 g 也會在 U 上可解析。 g = f(z)-f(a)/z-a，when z != a。 g = f'(a)，when z = a。 若 f 在一圓內可解析，且有 a1、...、an 等零點，將函數 g 定義為，當 z 不再零點上時，g(z) = f(z)/(z-a1)...(z-an)，而當 z 在零點上時則取其極限。則 g 在此圓內亦可解析。