一、複數 我們重新將複數定義為 ( R^2, +, * ) ，其中 * 為一個特殊的乘法，運算結果為 ( 配對相乘後相減 , 交叉相乘後相加 )。 複數是一個 有序數對 ，也就是說除非兩座標相等，否則座標調換後為另一個複數。 實數可視為第二個座標為零的複數，而複數之運算也可視為實數之推廣。 若複數 z =(x,y) ，則 x 稱為 z 之實部 Re(z) ，y 稱為 z 之虛部 Im(z)。注意： 實部與虛部皆為實數。 兩複數相等，即兩者座標相等，即兩者實部與虛部相等。 我們通常用 1 表示 (1,0) ，用 i 表示 (0,1)，因此 z = (x,y) = x+ iy。 若複數 z = (x,y)，則 -z = (-x,-y)，1/z = (x/(x^2+y^2), -y/(x^2+y^2))。 複數是一個 field 。 兩複數無法比較大小。 複數 z =(x,y) 的長度( modulus ) |z| 即 z 在複數平面上到原點之距離 (x^2+ y^2)^(1/2)。 三角不等式：兩複數長度的差 <= 兩複數之和或差之長度 <= 兩複數長度的和 a+bi 之共軛複數為 a-bi ，為一長度相等角度相反(差一負號)之數。 一複數與其共軛相乘 = 此複數長度之平方。 先做運算再取共軛 = 先取共軛再做運算。 Re(z) = (z + z_)/2 、 Im(z) = ( z - z_ )/2i。 (以底線表示共軛) z = a+bi 的極座標：r(cosx + isinx) = r(cisx) = r exp(ix)，其中 r 為 |z|，x 為 z 與實數軸之夾角。 複數 z 極座標之角度可有無窮多種選擇，而兩種角度皆相差 2n(pi)，這些角度所成的集合稱為 z 之 argument，寫做 arg(z)。我們在 arg(z) 中選定 大於 -pi 小於等於 pi 者稱之為 principle branch of arg(z)，寫做 Arg(z)。因此， arg(z) = Arg(z) + 2npi 複數相乘為長度相乘，角度相加。